數數：一個對一個
怎麼確定一堆東西到底有幾個？
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給家長的話
這一篇寫給你。你不需要自己很會數學：先讀「大人先懂」，再挑一個親子活動帶孩子做。你負責安排和提問，不需要講解；孩子負責動手、說出想法。陪孩子的時候，請避免說「我數學不好」，這句話容易讓孩子也開始怕數學。第一次使用，請先看「親子共學怎麼用」。
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情境開場
家裡來了客人，你請孩子幫忙把餅乾分到盤子上。孩子很認真，一塊一塊指著數：「1、2、3、4、5、6、7、8。」可是你一看，盤子上明明有 9 塊。仔細觀察，原來他的手指跳過了最邊邊那一塊，嘴巴卻沒有停下來。
又或者，他數完了，你接著問：「所以一共有幾塊？」他沒有回答「8」，而是又從頭開始數一次，或是把「1、2、3、4、5、6、7、8」整串再念一遍。
這些情況在剛開始數數的孩子身上很常見，不代表孩子不專心，而是數數這件事比大人想的複雜。這個單元要回答的核心問題是：怎麼確定一堆東西到底有幾個？
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開始前
這是課程地圖上的第一個單元，沒有先修。開始之前，先觀察孩子能不能做到下面幾件事：
- 能從 1 念到 10，中間不跳號、不重複。念錯順序也沒關係，先多念幾次，可以邊爬樓梯邊念。
- 能用手指一個一個點著桌上的東西，不必數對，只要手指會移動。
- 聽得懂「一共」「有幾個」「多一個」這幾句話。
三件都做得到，就可以開始。如果孩子還念不到 10，活動照樣可以做，只是先用 5 個以內的東西，等念得熟了再增加。
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大人先懂
數數在大人眼裡再簡單不過，但孩子要學會數數，其實得同時做對五件事。心理學家 Gelman 和 Gallistel 把它整理成計數的五個原則（counting principles）：
- 固定順序原則（stable-order principle）：數詞的順序是固定的，永遠是一、二、三，不能今天一、三、二。
- 一一對應原則（one-to-one principle）：每個東西配一個數詞，不能漏掉，也不能有一個東西配到兩個數詞；同一個數詞也不能用兩次。
- 基數原則（cardinality principle）：數到最後說出的那個數詞，代表這一堆一共有幾個。
- 抽象原則（abstraction principle）：什麼東西都可以數，蘋果和椅子混在一起也能數，聲音、拍手的次數也能數。
- 順序無關原則（order-irrelevance principle）：從哪一個開始數、照什麼順序數，數出來的總數都一樣。
情境開場的兩個例子，正好對應其中兩個原則。手指跳過一塊餅乾、嘴巴卻沒停，是一一對應還沒穩：手和嘴沒有同步。數完又從頭數，是基數原則還沒建立：孩子知道最後一塊是「第 8 塊」，但還不知道「8」同時也回答了「一共有幾塊」。
先用手邊的東西體會一次。拿 7 顆鈕扣散在桌上，指著其中一顆說「1」，把它移到旁邊；再指一顆說「2」，也移過去。移完以後，最後說的是「7」，旁邊那一排就是 7 顆。移開的動作把「數過的」和「還沒數的」分成兩邊，所以不會漏、也不會重複。
再看圖。同樣是 7 顆，散開放和排成一排，看起來不一樣：
散開的那堆最容易數錯，因為很難記得哪幾顆數過了；排成一排的可以從左到右一路點過去。可是不論怎麼放，只要每一顆都配到一個數詞，最後說出的數就一樣是 7。這就是為什麼換順序、換排法都不會改變總數：數數就是把東西和數詞「1、2、3……」一對一配起來，配完以後用到哪個數詞，就有多少個東西。換一種順序只是換了誰配誰，配成的對數沒有變。
最後走到數字。孩子數完說出的「7」，寫下來就是 7，它同時回答兩個問題：最後一顆是第幾顆，以及一共有幾顆。把這兩件事連在一起，就是基數原則，也是這個單元最重要的一步。
還有一件大人常忽略的事：很少的東西其實不必數。1 到 4 個東西，一眼就能看出有幾個，這叫做速辨（subitizing）。5 個以上就很難一眼看出，但如果排成「5 個一排、再多 2 個」這種結構，也能很快說出 7。速辨讓孩子不必每次都從 1 數起，也是之後學「湊十」和加法的基礎。快閃點卡這個活動練的就是速辨。
自學者延伸：一一對應不只用來數有限的東西，也是數學家比較無窮集合大小的方法。十九世紀的 Cantor 說：兩個集合（set）如果能把元素一個配一個、兩邊都不剩，就算「一樣多」。用這個定義，自然數（natural numbers）1、2、3、…… 和偶數（even numbers）2、4、6、…… 竟然一樣多，因為每個自然數 都可以配給偶數 （讀作「2 乘以 n」），兩邊都不會剩下。可是實數（real numbers）就沒辦法和自然數一一配對，不論怎麼配都會剩下實數，所以實數比自然數「更多」。孩子在客廳把鈕扣一顆配一個數詞，用的是同一個想法。
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常見迷思
下面三則迷思，都會在親子活動中直接出現。認得出來，就知道該用哪一句引導語。
迷思一：漏數或重複數。手和嘴不同步，或是忘了哪幾個數過。散開的東西最容易發生。
孩子指著散開的 6 顆積木數，手指跳過一顆，最後說「5」，其實桌上有 6 顆；或者同一顆點了兩次，數成 7。
孩子數一顆就把它移到旁邊，邊移邊說數詞。數過的和沒數的分成兩堆，最後說「6」，旁邊剛好是 6 顆。
診斷題：把 6 顆積木散開，請孩子數，數完不說對錯，再請他「數一顆移一顆」重數一次。兩次結果不一樣嗎？
看解析
兩次結果不同，通常是第一次漏數或重複數。這時不必指出哪裡錯，只要問：「這兩次怎麼不一樣？哪一次比較確定？」讓孩子自己發現移開的方法比較可靠。
迷思二：問「有幾個」時，從頭再數一遍，或念出整串數詞當答案。這表示孩子還沒把最後一個數詞和「一共有幾個」連起來。
數完 5 顆糖，問「一共有幾顆？」孩子又從頭指著數「1、2、3、4、5」，或回答「1、2、3、4、5」。
數完 5 顆糖，問「一共有幾顆？」孩子直接說「5 顆」，不必再數。
診斷題：請孩子數 5 顆糖，數完立刻把糖用手蓋起來，再問：「一共有幾顆？」
看解析
能直接說「5」的孩子已經有基數原則。想再數一次卻看不到糖、說不出來的孩子，還在把數數當成念一串數詞。這時問：「你剛剛最後說的是幾？」幫他把最後一個數詞和答案連起來。
迷思三：以為換個順序數，結果會不一樣。孩子可能真的相信從另一頭數，總數會變。
孩子從左邊數完 8 顆鈕扣，說「8」。你問：「從右邊開始數會是幾？」他說「不知道」，或猜一個別的數，一定要重數才知道。
孩子說：「還是 8，因為沒有拿走也沒有加。」
診斷題：把 8 顆鈕扣排成一個圓圈，問孩子：「從哪一顆開始數，數出來會最多？」
看解析
回答「都一樣，都是 8」的孩子已經懂順序無關原則。挑了某一顆說「從這顆開始比較多」，表示他還相信起點會改變總數。不必解釋，請他從兩個不同的起點各數一次，再問：「為什麼兩次數的一樣？」能說出「沒有拿走也沒有加」就很好。
6 / 9和孩子一起
親子活動
三個活動都用同一盒小物：一盒大約 30 個的鈕扣、積木或豆子，後面「比多少」和「數線」兩個單元也會用到，準備一次就好。另外可以先印好數字卡 0–20，三篇共用。
搬家數數
約 5–10 分鐘- 目的
用「數一個、移一個」做到一一對應，並體會最後說的那個數就是一共有幾個。
- 材料
小物盒裡的 6 到 12 個小物，兩個盤子或兩張紙當成「舊家」和「新家」，以及數字卡 0–20。
- 時間
- 5–10 分鐘
- 步驟
- 把小物散放在「舊家」盤子上，數量先從 6 個開始。
- 請孩子把小物一個一個「搬家」到另一個盤子，每搬一個就說一個數詞。
- 全部搬完後，問：「所以新家一共有幾個？」
- 請孩子從數字卡裡找出這個數，放在新家旁邊。
- 孩子說對了，下一輪多放 2 個，最多到 12 個。
- 家長引導語
你搬最後一個的時候說了幾？所以新家一共住了幾個？舊家還剩幾個？
- 卡關時
孩子搬的速度和念的速度對不上：問他「你放下去了嗎？」，等他放下去再說下一個數。孩子數完又從頭數：先蓋住新家，問「你剛剛最後說的是幾？」
- 回饋語範例
你一個一個放下去才說，所以每一個都只數到一次。
換個起點
約 5–10 分鐘- 目的
發現從哪一個開始數、照什麼順序數，總數都一樣。
- 材料
小物盒裡的 7 到 10 個小物，排成一排。
- 時間
- 5–10 分鐘
- 步驟
- 把 8 個小物排成一排，請孩子從左邊數，數完問：「所以一共有幾個？」
- 問：「如果從右邊開始數，會是幾？」先請孩子預測，不要馬上數。
- 請孩子從右邊數一次，對照剛才的預測。
- 再請孩子從中間某一個開始數：先往右數到最右邊，再從最左邊接著數，數到起點的前一個為止。
- 換成 7 個或 10 個，再做一次。
- 家長引導語
你猜從這邊數會是幾？為什麼你這樣猜？數完了，跟你猜的一樣嗎？
- 卡關時
孩子從中間開始數，繞回另一端時漏掉或重複起點：請他先在起點放一張數字卡或一個不同顏色的小物當記號。
- 回饋語範例
你先猜、再數一次確認，用的是很好的檢查方法。
快閃點卡
約 10 分鐘- 目的
練習速辨：1 到 4 個點一眼看出來，5 個以上用「5 和幾」看出來，不必一個一個數。
- 材料
點卡 1–10，剪好後疊成一疊。
- 時間
- 10 分鐘
- 步驟
- 先只用 1 到 4 的點卡。這個活動練的是不數就看出來，所以從很少的點開始。家長拿起一張，亮給孩子看大約 2 秒就蓋回去。
- 問：「你看到幾個點？」孩子說完再翻開對答案。
- 1 到 4 都很熟以後，加入 5 到 10 的點卡。這些點卡上排 5 個、下排是剩下的。
- 孩子答對了，亮牌的時間縮短一點；答錯了，翻開讓他慢慢數一次。
- 最後換孩子亮牌、家長猜，家長可以故意猜錯一次讓孩子檢查。
- 家長引導語
你是怎麼看出來的？是一個一個數，還是一眼就看到了？上面一排有幾個，下面又多幾個？
- 卡關時
孩子看到 7 個點還是想一個一個數：把卡片停久一點，問「上面這排有幾個？下面又多幾個？」
- 回饋語範例
你先看上面那排是 5，再看下面多 2 個，這個方法比一個一個數快。
7 / 9和孩子一起
練習與解析
- 在桌上散放 15 個小物，請孩子數，數完問一共有幾個。
看解析
15 個。15 比搬家數數最多的 12 個還多，散開時更容易漏數。答 14 或 16 的孩子，多半漏了或重複了一個，請他用「搬家」的方法再數一次，再問兩次為什麼不一樣。
- 排 10 個小物成一排，請孩子從左邊數到 7 停下來，問：「你停在第幾個？你數過的一共有幾個？」
看解析
停在第 7 個，數過的一共 7 個。這題把「第幾個」和「一共幾個」放在一起問。孩子答「第 7 個」卻說不出「一共 7 個」，表示基數原則還不穩，可以請他把數過的 7 個推到旁邊，再問：「推過去的有幾個？」
- 拍手 6 下，請孩子閉上眼睛數，問一共拍了幾下。
看解析
6 下。這題練抽象原則：看不到的東西也能數。孩子答錯時，換成慢慢拍，請他每聽到一下就伸出一根手指，最後看手指有幾根。
- 把 4 個紅積木和 3 個藍積木混在一起，問一共有幾個。
看解析
7 個。不同顏色的東西也能一起數。孩子若只數紅的說「4」，表示他以為數數要同一種東西，可以問：「我問的是全部，藍的算不算？」
- 亮出 3 個點的點卡 2 秒後蓋起來，問：「你看到幾個點？」再用 8 個點的點卡問一次。
看解析
3 和 8。3 個點通常一眼就看得出來。8 個點若孩子答得出，多半是看出「5 和 3」；答不出來很正常，翻開讓他看上排 5 個，再問下排有幾個。
- 請孩子各數一次下面兩張圖的圓點，數完問一共有幾個。
看解析
散開的是 9 個，排成一排的是 8 個。圖上的點不能移開，散開的那張比較容易漏數或重複，可以請孩子用手指按住數過的點，或每數一個就在紙上畫一筆。兩張都數對以後問：「哪一張比較好數？為什麼？」
8 / 9和孩子一起
隔天再問
隔天找一個空檔，不給提示地問下面兩題，答錯也不必當場糾正，記下來，下次活動多練那一部分。
- 「昨天我們搬家數數的時候，最後說的那個數代表什麼？」
看提示
代表一共有幾個。孩子說「最後一個」也算對了一半，可以接著問：「最後一個是第 8 個，那一共有幾個？」
- 「如果從另一邊開始數，數出來會不一樣嗎？」
看提示
不會，因為沒有拿走也沒有加。孩子說「會」，下次做一次「換個起點」，讓他自己數數看。
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下一步
數數是把東西和數詞一個配一個，下一個單元「比多少」把同樣的配對用在兩堆東西之間：不數完，只要配一配，就知道哪一邊比較多。