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怎麼確定一堆東西到底有幾個？

不數完，怎麼知道哪一邊比較多？

先修：數數：一個對一個

數字的大小為什麼可以排成一條線上的位置？

先修：比多少

為什麼 10 是特別好用的數？

先修：數數：一個對一個

為什麼 3 寫在不同位置代表不同的量？

先修：湊十

很大的數怎麼讀、怎麼感受它有多大？

先修：位值：同一個 3 不一樣大

不需要算準時，怎麼快速知道大約多少？

先修：位值：同一個 3 不一樣大數線：數字排成一條線

什麼情況下要用加法？

先修：數數：一個對一個湊十

「剩下多少」和「差多少」為什麼都是減法？

先修：加法是合併與增加比多少

直式為什麼要對齊位數、借位到底借了什麼？

先修：位值：同一個 3 不一樣大減法是拿走與比較

幾個一樣多的組合在一起，怎麼算得比一直加更快？

先修：加法是合併與增加

九九乘法表裡藏著哪些不必硬背的規律？

先修：乘法是等組與面積

「分給幾個人」和「可以分成幾份」為什麼都是除法？

先修：乘法是等組與面積減法是拿走與比較

分不完的部分該怎麼說、怎麼用？

先修：除法是平分與包含

直式乘法每一行其實在算什麼？

先修：九九乘法的規律位值：同一個 3 不一樣大

長除法每一步在分什麼？

先修：直式乘法為什麼可行餘數

一串混合的算式，為什麼要先乘除後加減？

先修：乘法是等組與面積除法是平分與包含

哪些重新排列算式的方法保證答案不變？

先修：運算順序與括號

一個數能被哪些數整除，這件事告訴我們什麼？

先修：餘數

為什麼每個數都能拆成質數的乘積，而且拆法只有一種？

先修：因數與倍數

兩個數共同的因數與倍數能解決哪些問題？

先修：質數與質因數分解

把一個東西平分後的一份，要怎麼用數表示？

先修：除法是平分與包含

分數也是數，它在數線上的哪裡？

先修：單位分數：等分的一份數線：數字排成一條線

比 1 還小的量，怎麼沿用位值來寫？

先修：位值：同一個 3 不一樣大單位分數：等分的一份

為什麼 1/2 和 2/4 是同一個數？

先修：分數在數線上乘法是等組與面積

分母不同的分數怎麼比大小？

先修：等值分數

為什麼分數相加前要先通分？

先修：比較分數大小最大公因數與最小公倍數

「3/4 的 2/3」為什麼是乘法？

先修：等值分數直式乘法為什麼可行

除以一個分數，為什麼等於乘以它的倒數？

先修：分數乘法是取幾分之幾

小數點在乘除時為什麼會移動？

先修：小數是位值的延伸直式乘法為什麼可行長除法

「三杯水配一杯米」這種關係怎麼表示與放大縮小？

先修：分數除法：為什麼顛倒相乘

為什麼要把比例換成「每一百裡有多少」？

先修：比與比值小數四則

怎麼比較「哪一包比較划算」「誰跑得比較快」？

先修：比與比值

兩個量一起放大縮小時，它們之間有什麼不變的關係？

先修：速率與單位量

為什麼 1 公尺是 100 公分，換單位時數字怎麼跟著變？

先修：位值：同一個 3 不一樣大乘法是等組與面積

「圍起來多長」和「蓋住多大」為什麼是兩件事？

先修：乘法是等組與面積

角的大小是在量什麼？

先修：數線：數字排成一條線

為什麼任何三角形的三個角加起來都是 180 度？

先修：角與角度

為什麼所有圓的周長除以直徑都一樣？

先修：比與比值小數四則

圓的面積為什麼是 πr²？

先修：圓與圓周率面積與周長

比零還少是什麼意思，數線怎麼往左延伸？

先修：數線：數字排成一條線

減去一個負數為什麼會變多？

先修：負數：比零還少

為什麼 |a−b| 剛好是數線上兩點的距離？

先修：負數：比零還少

負數乘負數為什麼一定是正數？

先修：負數加減交換、結合與分配律

很多個相同的數相乘，怎麼寫得簡潔又好算？

先修：負負為何得正質數與質因數分解

極大和極小的數怎麼寫、怎麼比較？

先修：指數：重複乘法的簡寫小數四則

為什麼要用 x 代替還不知道或會變動的數？

先修：交換、結合與分配律

含有字母的式子怎麼合併得更簡單？

先修：用字母代表數負負為何得正

括號外的數乘進去時，為什麼每一項都要乘到？

先修：化簡式子：同類項

為什麼等號兩邊做同樣的事，等式仍然成立？

先修：去括號與分配律

怎麼一步步把未知數單獨留在一邊？

先修：方程式是天平異分母分數加減

怎麼把一段情境描述變成可以解的方程式？

先修：解一元一次方程式

乘以負數時不等號為什麼要反過來？

先修：解一元一次方程式

兩個未知數需要幾個條件才能確定？

先修：解一元一次方程式

面積是 2 的正方形，邊長是多少？

先修：指數：重複乘法的簡寫

√2 為什麼不能寫成分數，數線上真的沒有空隙嗎？

先修：平方根與根式分數在數線上

(a+b)² 為什麼不等於 a²+b²？

先修：去括號與分配律

怎麼把一個多項式拆回幾個因式相乘？

先修：乘法公式：和的平方最大公因數與最小公倍數

「乘積為零」為什麼能幫我們解方程式？

先修：因式分解平方根與根式

不能因式分解的二次方程式要怎麼解？

先修：一元二次方程式

怎麼用兩個數精確說出平面上的一個位置？

先修：負數：比零還少

直角三角形的三邊為什麼有 a²+b²=c² 的關係？

先修：平方根與根式面積與周長

知道兩點坐標，怎麼算出它們相距多遠？

先修：畢氏定理坐標平面

形狀相同、大小不同的圖形，對應邊有什麼關係？

先修：正比三角形內角和

「一個輸入只對應一個輸出」為什麼值得特別命名？

先修：用字母代表數坐標平面

為什麼一次函數畫出來一定是直線？

先修：函數是對應關係正比

「每多 1 單位，另一個量變多少」怎麼從圖上讀出來？

先修：一次函數與直線

已知兩點或一點與斜率，怎麼寫出直線？

先修：斜率是變化率二元一次聯立方程式

拋物線的頂點與開口方向藏在式子的哪裡？

先修：一次函數與直線配方法與公式解

式子改一個數，圖形為什麼會整個移動或拉長？

先修：二次函數與拋物線

「到圓心距離固定」怎麼寫成方程式？

先修：兩點距離配方法與公式解

次數更高的函數圖形有哪些共同樣貌？

先修：圖形的平移與伸縮

不實際做除法，怎麼知道多項式除以 x−a 的餘數？

先修：多項式函數長除法

怎麼看出一個多項式在哪些範圍是正、哪些是負？

先修：多項式除法與餘式定理一元一次不等式

兩個函數接起來、或把函數倒過來，會得到什麼？

先修：圖形的平移與伸縮

為什麼任何非零數的零次方都是 1？

先修：指數：重複乘法的簡寫分數除法：為什麼顛倒相乘

「2 的 1/2 次方」可能代表什麼？

先修：指數律與零次方平方根與根式

每次都乘上固定倍數的變化，為什麼最後會大到超乎直覺？

先修：分數指數百分率

y=aˣ 的圖形為什麼永遠在 x 軸上方？

先修：指數成長圖形的平移與伸縮

「2 的幾次方是 8」這個問題要怎麼寫成一個數？

先修：指數函數

為什麼對數能把乘法變成加法？

先修：對數是在問指數

對數函數和指數函數的圖形為什麼對稱？

先修：對數律合成函數與反函數

為什麼只要知道角度，邊長的比例就確定了？

先修：相似三角形畢氏定理

為什麼數學家偏好用弧長來量角度？

先修：圓與圓周率直角三角形的三角比

超過 90 度的角，sin 和 cos 該怎麼定義？

先修：弧度坐標平面

繞圈的運動怎麼變成上下起伏的波？

先修：單位圓與廣義角圖形的平移與伸縮

sin(a+b) 為什麼不等於 sin a + sin b？

先修：單位圓與廣義角

一串數的規律怎麼用式子描述？

先修：函數是對應關係

「每次加一樣多」和「每次乘一樣多」會長成什麼樣子？

先修：數列與規律指數律與零次方

一長串加法怎麼寫得簡潔、怎麼快速加總？

先修：等差與等比數列

一串數「越來越接近某個數」要怎麼說得精確？

先修：Σ 記號與級數絕對值：到零的距離無理數與實數線

無限多個數加起來，為什麼可能是有限的？

先修：數列的極限

利息算得越來越頻繁，錢會無限增加嗎？

先修：數列的極限指數成長

x 靠近某個值時，函數值往哪裡去？

先修：數列的極限多項式函數

「一筆畫完不斷開」怎麼用極限精確定義？

先修：函數的極限

某一瞬間的速度要怎麼定義？

先修：斜率是變化率函數的極限

割線怎麼一步步變成切線？

先修：從平均速率到瞬時速率

每一點的斜率合起來，為什麼又是一個函數？

先修：導數的定義

xⁿ 的導函數為什麼是 nxⁿ⁻¹？

先修：導函數乘法公式：和的平方

曲線放大到很近時，為什麼看起來像直線？

先修：冪次的微分直線方程式

兩個函數相乘的變化率，為什麼不是各自變化率相乘？

先修：冪次的微分

一層套一層的函數，變化率怎麼一路傳下去？

先修：乘法與除法法則合成函數與反函數

為什麼 eˣ 的導函數是它自己？

先修：連鎖律連續複利與 e對數函數

sin x 的變化率為什麼正好是 cos x？

先修：連鎖律三角函數圖形與週期和角公式

怎麼從導數看出函數在哪裡轉彎？

先修：冪次的微分多項式不等式與符號表

「變化率的變化率」告訴我們圖形的什麼？

先修：遞增遞減與極值

只憑導數資訊，怎麼畫出函數的大致樣貌？

先修：二階導數與凹凸多項式函數

怎麼找出最省材料、最大面積的那個設計？

先修：遞增遞減與極值把文字題翻成方程式

平均速率為什麼一定會在某個瞬間被剛好達到？

先修：導函數連續性

兩個互相牽動的量，變化快慢有什麼關係？

先修：連鎖律

邊界彎曲的區域，面積要怎麼算？

先修：Σ 記號與級數函數的極限面積與周長

用越來越細的長方形逼近，為什麼能得到精確面積？

先修：曲線下的面積問題

黎曼和的極限為什麼值得有自己的符號？

先修：黎曼和連續性

已知變化率，怎麼找回原本的函數？

先修：冪次的微分

算面積和求變化率，為什麼是互逆的兩件事？

先修：定積分反導函數均值定理

知道每一刻的速度，怎麼算出走了多遠？

先修：微積分基本定理從平均速率到瞬時速率

夾在兩條曲線中間的區域怎麼算面積？

先修：微積分基本定理

把曲線繞軸轉一圈，怎麼算出立體的體積？

先修：兩曲線之間的面積圓面積

連鎖律倒過來用，怎麼化簡積分？

先修：微積分基本定理連鎖律

乘法法則倒過來用，怎麼處理兩個函數相乘的積分？

先修：變數變換乘法與除法法則