大數：萬與億

很大的數怎麼讀、怎麼感受它有多大？

建議年級：4–5 年級

先修：位值：同一個 3 不一樣大

情境開場

晚間新聞的字幕寫著：「本市人口 2,650,000 人。」你盯著那串數字，手指在螢幕前一位一位點過去：個、十、百、千、萬、十萬、百萬……點到最左邊，才念得出「兩百六十五萬」。主播早就講到下一則了。

隔天看房，房仲說：「這間開價一千兩百八十萬。」你在手機的房貸試算頁面輸入金額，打了 1、2、8，接著不確定要打幾個 0。打成 1,280,000 嗎？還是 12,800,000？差一個 0，就差了十倍。

再過幾天，你讀到一則報導，說某個計畫花了「一億元」。你知道一億很多，可是到底多多？比一千萬多一點，還是多很多？如果有人說一萬元和一億元「都是一大筆錢」，你說得出它們差多少嗎？

這三件事卡住的地方都一樣：數字一長，我們就不知道該怎麼分段來讀，也抓不到它的大小。這個單元要回答的核心問題是：很大的數怎麼讀、怎麼感受它有多大？

先修回顧

這個單元的先修是位值。下面三題不計時、不計分，用來確認位值的基本想法還在。卡住的話，回位值單元補一下再回來，會讀得輕鬆很多。

103 這個數裡的 0 代表什麼？可以把它省略、寫成 13 嗎？

看解析

0 代表十位上一個十也沒有。它不能省略：0 把 1 撐在百位上，省掉以後 1 會滑到十位，103 就變成 13，少了 90。

10 個一是 1 個十，10 個十是 1 個百。那 10 個百是多少？10 個千呢？

看解析

10 個百是 1000，也就是 1 個千；10 個千是 10000。位值單元的「十個換一個」在這裡繼續往左走，10 個千也要換成更大的一個單位，這個單位就是本單元的主角：萬。

4 個千、0 個百、2 個十、9 個一，寫成數字是多少？

看解析

4029。百位沒有東西，要寫 0 佔住位置。寫成 429 的話，4 就從千位滑到百位了。

如果你已經能一眼讀出 2,030,040,000，也知道 1 億是 1 萬的幾倍，可以直接跳到練習：

已經會了？直接去練習

直覺

先從錢開始。1000 元的鈔票，10 張疊成一疊，就是 1 萬元。這一疊是個好用的單位：說「30 萬元」，就是 30 疊；說「3 萬元」，就是 3 疊。我們不必一張一張數 300 張千元鈔，只要數疊數。

這正是位值單元那個想法的延伸。在位值（place value）裡，10 個一換成 1 個十，10 個十換成 1 個百，10 個百換成 1 個千。照同樣的規則再往左走一步，10 個千換成 1 個萬。萬就像一個新的「一」：你可以 1 萬、2 萬、3 萬這樣數下去，就像數 1、2、3 一樣。

下面這條數線，每一格不是 1，而是 1 萬，也就是一疊鈔票。

每一格是 1 萬，從 0 數 3 格

桌上的 3 疊鈔票、圖上從 0 跳 3 格、寫成數字的 30000，說的是同一件事：3 個萬。

刻度下的 10 代表 10 萬，也就是 10 疊。數線的想法沒有變：一個數的位置，就是從 0 出發走了幾格；只是現在一格代表 1 萬。

接著把它寫成數字。中文給「萬」一個名字以後，就不再替十萬、百萬、千萬另取新名字，而是把熟悉的個、十、百、千，重新用在萬的前面：十萬、百萬、千萬。所以萬的那一段，也和最右邊那一段一樣，最多四位。本篇為了看清分節，從右邊每數四位空一小格，例如 3 萬寫成 $3\,0000$ ，2650 萬寫成 $2650\,0000$ 。這個空格只是讀數的輔助，正式寫法仍是 30000 或 30,000。空格左邊那一段讀完，加一個「萬」字，再讀右邊那一段。

千萬再往左一位，又是 10 個千萬，這時中文才取下一個新名字：億。億的那一段同樣用個、十、百、千，再往左四位是兆。這種每四位換一個名字的分法，叫做「四位一節」：

\underbrace{1}_{\text{億}}\;\underbrace{2345}_{\text{萬}}\;\underbrace{6789}_{\text{個}}

這個式子讀作「一億兩千三百四十五萬六千七百八十九」。底下的大括號標出每一節的名字：最右邊四位是「個」節，不加字；中間四位讀完加「萬」；最左邊讀完加「億」。

那新聞字幕上的逗號呢？國際通用的千分位撇號（thousands separator）是三位一撇，例如 $123{,}456{,}789$ 。這是因為英文的大數名字每三位換一個：thousand（千）、million（百萬）、billion（十億）。撇號標的是英文換名字的地方，中文換名字的地方則是每四位。兩種分法都正確，只是服務不同的語言。

所以讀一個帶撇號的數，最穩的做法是先把撇號放一邊，從右往左每四位切一刀，再一節一節讀。情境開場的 2,650,000，切成 $265\,0000$ ，讀作「兩百六十五萬」。

推理

為什麼萬的一萬倍是億

位值的規則是：往左一位，就是十倍。千是十的一百倍，因為從十位走到千位往左走了兩位，乘了兩次 10。照同樣的道理，從萬位走到億位，往左走了四位，乘了四次 10：

10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000

$\times$ 讀作「乘」。這一行說的是：連續乘四次 10，得到一萬。所以 1 億是 1 萬的一萬倍。換個說法，1 億是 1 萬個萬：一萬疊鈔票。同樣的道理，1 兆是 1 萬個億。中文大數的名字，就是每隔一萬倍出現一次。

這也說明了一個常見的直覺為什麼不對。萬後面緊接著的名字是億，很容易以為億只比萬「大一級」，大概是十倍。其實萬和億中間還夾著十萬、百萬、千萬三個位置，四次十倍連在一起，就是一萬倍。

為什麼要念「零」

中間有 0 的時候，讀法有兩條規則：每一節末尾的 0 不念；一節中間或開頭的 0，不論連續幾個，只念一個「零」。如果一整節都是 0，那一節的名字也不念，跨節連在一起的 0 同樣只念一個「零」，例如 $1\,0000\,0005$ 讀作「一億零五」。

這兩條規則都不是隨便規定的，它們的目的和位值單元裡 103 的 0 一樣：讓聽的人不會把數字放錯位置。看 $4006\,0008$ 。萬這一節是 4006，千位的 4 和個位的 6 中間空了兩位，念「四千零六萬」，那個「零」告訴聽的人：6 不是緊接在千後面的百位。個這一節是 0008，開頭空了三位，念「零八」，告訴聽的人 8 是在個位，不是在千位。合起來是「四千零六萬零八」。

末尾的 0 為什麼不必念？因為「萬」這個字已經把位置定住了。說「三百萬」，聽的人知道 3 在百萬位，後面當然全是空的，不需要再提醒。

感受有多大

會讀大數以後，還要能感受它有多大。最好用的方法是比例：拿一個你熟悉的量，看大數是它的幾倍。

用時間來比。1 小時有 3600 秒，3 小時就是 10800 秒，比 1 萬多一點。所以 1 萬秒還不到 3 小時，大約是 2 小時 47 分，看一場電影再吃個飯就過去了。1 億秒呢？1 年大約有 3150 萬秒，3 年大約 9460 萬秒，所以 1 億秒比 3 年多一點，大約 3 年 2 個月。一個是一個下午，一個是一個孩子從出生長到會講話。

回到鈔票。1 萬元是 10 張千元鈔，疊起來大約 1 公釐厚。1 億元是 1 萬疊，大約 10 公尺高，差不多三層樓。

1 億切成 10 格，第一格就已經是 1000 萬

每一格是 1000 萬，10 格是 1 億。1 萬只有第一格的千分之一，在這張圖上離 0 不到一根頭髮的寬度。

這張圖說明了為什麼「一萬和一億都是一大筆錢」是很危險的感覺。在 1 億的尺度上，1 萬幾乎貼在 0 旁邊。

範例

下面的範例從完整示範開始，逐步把步驟留給你。每個範例最後都回頭檢查一次。

範例一：讀新聞上的人口（完整範例）

新聞寫著：「全國人口約 23,400,000 人。」這是多少人？

第一步，拿掉撇號，得到 23400000。

第二步，從右往左每四位切一刀： $2340\,0000$ 。

為什麼這步成立？

看解析

中文每四位換一個名字，從右邊數起的第一節是「個」節，第二節是「萬」節。從右邊切，是因為最右邊一定是個位，位置是固定的；從左邊切，切出來的節會隨數字長短而錯位。

第三步，左節 2340 讀作「兩千三百四十」，後面加「萬」；右節全是 0，不念。答案是兩千三百四十萬人。

回頭檢查：撇號寫法 23,400,000 有 8 位數，從右數第 8 位是千萬位，所以這個數應該是幾千萬。兩千三百四十萬正好是幾千萬，位數對得上。

範例二：房價寫成數字（範例與練習配對）

先看示範：房仲說「一千兩百八十萬」，要在試算頁面輸入多少？

萬節是 1280，個節是 0000，寫成 $1280\,0000$ ，也就是 12,800,000。回頭檢查：「萬」後面一定還有完整的四位，所以 1280 後面要補四個 0，不是三個。情境開場裡的 1,280,000 只有 128 萬，少了十倍。

換你：另一間房開價「九百六十五萬」，寫成數字。

看解析

萬節是 965，個節是 0000，寫成 $965\,0000$ ，也就是 9,650,000。回頭檢查：九百多萬是 7 位數，9,650,000 正好 7 位。

範例三：公司營收（留空最後一步）

財報寫著某公司年營收「三億零七百萬元」，寫成數字。

第一步，分節：億節是 3，萬節是 700，個節沒有提到，是 0000。

第二步，萬節要寫滿四位。700 只有三位，前面補一個 0，變成 0700。

為什麼這步成立？

看解析

萬節的四位是千萬、百萬、十萬、萬。700 萬的 7 在百萬位，千萬位是空的，必須用 0 佔住，否則 7 會滑到千萬位，變成七千萬。讀法裡的那個「零」，就是在提醒這個空位。

第三步，把三節接起來：3、0700、0000，寫成數字是多少？最後回頭檢查位數。

看解析

$3\,0700\,0000$ ，也就是 307,000,000。回頭檢查：幾億是 9 位數，307,000,000 正好 9 位；從右數第 9 位是 3，就是億位。

範例四：中間有很多 0 的數（留空最後兩步）

讀出 40,060,008。

第一步，拿掉撇號、從右每四位切開： $4006\,0008$ 。

最後兩步留給你：先讀萬節，再讀個節，並說明每個「零」是怎麼來的。

看解析

萬節 4006 讀作「四千零六萬」，千位和個位中間空了兩位，只念一個零。個節 0008 開頭空了三位，念「零八」。合起來是「四千零六萬零八」。回頭檢查：把讀法再寫回數字，四千零六萬是 $4006\,0000$ ，加上 8 是 $4006\,0008$ ，和原數相同。

範例五：一億元能花多久（獨立解題）

有人中了 1 億元，每天花 1 萬元，大約能花幾年？先自己試，再看下面兩種解法。

看解析

解法一，用「萬的一萬倍是億」：1 億是 1 萬個萬，每天花一個萬，可以花 1 萬天。1 年大約 365 天，10 年大約 3650 天，1 萬天不到 30 年，大約 27 年。

解法二，數 0：1 億寫成 $1\,0000\,0000$ ，有 8 個 0；1 萬寫成 $1\,0000$ ，有 4 個 0。拿掉 4 個 0，剩下 $1\,0000$ ，也是 1 萬天，後面換算成年和解法一相同。

比較：解法二很快，但只在兩個數都是 1 後面接一串 0 時好用；如果每天花 3 萬元，數 0 就不夠了。解法一用的是單位的關係：把 1 億看成 1 萬個萬，3 萬就是 3 個萬，算的是「1 萬個萬裡有幾組 3 個萬」，比較能延伸。

回頭檢查：每天 1 萬元，一年約 365 萬元，30 年約 1 億 950 萬元，比 1 億多一點，所以「不到 30 年」是合理的。

常見迷思

迷思一：看到撇號就當成「萬」。中文讀者習慣在「萬」的地方停頓，看到撇號也想停，結果撇號左邊的數字被念成幾萬。

看到 12,000，念成「十二萬」。看到 350,000，念成「三百五十萬」。

先拿掉撇號，從右每四位切開：12000 是 $1\,2000$ ，念「一萬兩千」；350000 是 $35\,0000$ ，念「三十五萬」。

錯誤範例錯在哪裡？為什麼錯？先自己說說看，再打開核對。

看解析

撇號是三位一撇，標的是英文的 thousand；把它當成萬，等於把萬放在千的位置，數字一下子大了十倍。

診斷題：讀出 480,000。

看解析

四十八萬。念成「四百八十萬」的，是把撇號當成萬。檢查方法：從右往左每四位切開，切出 $48\,0000$ ，萬節是 48。

迷思二：照著念法把數字直接接起來寫。聽到「三萬零五十」，先寫 30000，再在後面寫 50，得到 3000050。

「三萬零五十」寫成 3000050：把「三萬」寫成 30000，把「五十」接在後面。

先決定有幾節。「三萬零五十」有萬節和個節，萬節是 3，個節是 0050，寫成 $3\,0050$ ，也就是 30050。

錯誤範例錯在哪裡？為什麼錯？先自己說說看，再打開核對。

看解析

30000 的四個 0 是留給個節的空位，「五十」要填進這些空位，而不是排在它們後面。直接接上去，數字就多了兩位。

診斷題：「兩百萬零三百」寫成數字。

看解析

$200\,0300$ ，也就是 2,000,300。寫成 2000000300 的，是把 2000000 和 300 直接接起來。檢查方法：先寫好萬節 200，再把個節寫滿四位 0300，兩節接起來；個節開頭的 0，正是讀法裡那個「零」。

迷思三：以為億只是萬的十倍。萬後面接著就是億，很容易覺得億只比萬大一級，1 億大概就是 10 萬。

「萬、億只差一級，所以 1 億大概是 10 萬。」

萬和億之間還有十萬、百萬、千萬三個位置，從萬位到億位往左走了四位，乘了四次 10，所以 1 億是 1 萬個萬，也就是 10000 萬。

錯誤範例錯在哪裡？為什麼錯？先自己說說看，再打開核對。

看解析

它把「名字的順序」當成「位置的距離」。名字只差一個，位置卻差四位，萬和億中間還有十萬、百萬、千萬，所以 1 億是 1 萬個萬。

診斷題：1 億是幾個萬？

看解析

1 萬個萬。答 10 個的，是把億當成萬的下一級、只大十倍。檢查方法：數 0，1 萬是 $1\,0000$ ，有 4 個 0；1 億是 $1\,0000\,0000$ ，有 8 個 0，多了 4 個 0，就是四次十倍，也就是一萬倍。

練習

這裡的題目混了不同類型，錯得比較多是正常的，混在一起練，長期記得比較牢。卡住時，先試試本單元的固定步驟：拿掉撇號、從右每四位切開、一節一節讀。

讀出 700000。

看解析

七十萬。從右切四位得到 $70\,0000$ ，萬節是 70。念成「七千萬」或「七百萬」的，是沒有從右邊開始切。

36 + 8 等於多少？請用先湊成 40 的方法算。

看解析

44。8 拆成 4 和 4，36 加 4 湊成 40，再加 4 是 44。湊整十以後，剩下的加法就只剩個位。

在數線上，從 96 走到 104，要走幾步？

看解析

8 步， $104 - 96 = 8$ 。答 9 的，是把 96 到 104 的刻度全部數進去了：數線上數的是格子之間的間隔，不是刻度。

寫成數字：五千零八。

看解析

5008。百位和十位都空著，要用 0 佔住。寫成 508 或 50008 的，前者少了一個空位，後者是把 5000 和 8 直接接起來。

把 2,350,000 從右每四位切開分節，並讀出來。

看解析

切開是 $235\,0000$ （空格只是分節的輔助），萬節是 235，讀作「兩百三十五萬」。念成「兩千三百五十萬」或「兩百三十五千」的，都是被撇號帶著走。

甲市人口 1,280,000 人，乙市人口 980,000 人。哪一市人比較多？多幾萬人？

看解析

甲市比較多，多 30 萬人。兩個數分別是 128 萬和 98 萬， $128 - 98 = 30$ 。答「128 萬」的，是把「多幾萬」答成甲市一共有幾萬。只看撇號左邊的 1 和 980 去比的，會以為乙市比較多，先改成四位一節再比，就不會被位數騙。

1 億是 10 萬的幾倍？

看解析

1000 倍。1 億是 1 萬個萬，10 萬是 10 個萬；1 萬個萬裡有 1000 組 10 個萬。也可以數 0： $1\,0000\,0000$ 有 8 個 0， $10\,0000$ 有 5 個 0，差 3 個 0，就是 1000 倍。答 1 倍或 10 倍的，是把億當成萬的下一級，以為 1 億大概就是 10 萬。

寫成數字：六億零三十萬。

看解析

$6\,0030\,0000$ ，也就是 600,300,000。萬節是 30，要補成四位 0030。寫成 6300000 的，是沒有把萬節 30 補成四位 0030，結果變成六百三十萬。回頭檢查：幾億是 9 位數。

讀出 4,006,000,800。

看解析

拿掉撇號、從右每四位切開： $40\,0600\,0800$ 。億節是 40，讀「四十億」；萬節 0600 開頭空了一位，讀「零六百萬」；個節 0800 開頭空了一位，讀「零八百」。合起來是「四十億零六百萬零八百」。億節末尾的 0 不念，因為「億」字已經定住位置。

提取題

不看前面的內容，憑記憶回答。

中文讀大數時，每幾位換一個新名字？國際寫法的撇號又是每幾位一撇？為什麼不一樣？

看解析

中文每四位換一個名字（個、萬、億、兆），撇號每三位一撇。撇號是配合英文的 thousand、million、billion，英文每三位換一個名字。

1 兆是 1 億的幾倍？為什麼？

看解析

一萬倍。從億位到兆位往左走了四位，每一位是十倍，四次十倍就是一萬倍；中文大數的名字每隔一萬倍換一次。

讀出 30,500,070。

看解析

切成 $3050\,0070$ ，讀作「三千零五十萬零七十」。

1 萬秒和 1 億秒，大約各是多久？

看解析

1 萬秒大約 2 小時 47 分，不到 3 小時；1 億秒大約 3 年 2 個月。

下一步

新聞上的 2340 萬人，其實是 23,396,512 取過大約的數。下一個單元「估算與四捨五入」從「靠近哪個整十」講起，同一條規則一路適用到萬位。

下一個單元

估算與四捨五入

複習建議

隔一天、一週、一個月，各回來做一次本篇的提取題，先不看解析；卡住的題目，回到對應段落重讀。