湊十
為什麼 10 是特別好用的數？
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給家長的話
這一篇寫給你。你不需要自己很會數學：先讀「大人先懂」，再挑一個親子活動帶孩子做。你負責安排和提問，不需要講解；孩子負責動手、說出想法。陪孩子的時候，請避免說「我數學不好」，這句話容易讓孩子也開始怕數學。第一次使用，請先看「親子共學怎麼用」。
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情境開場
你從超市買回一盒雞蛋，盒子裡有兩排凹槽，每排 5 格，一共 10 格。早餐用掉了幾顆，你問孩子：「盒子裡還剩幾顆蛋？」孩子伸出手指，一顆一顆點著數：「1、2、3、4、5、6、7。」數得很仔細，也數對了。
你接著問：「那還要再放幾顆，盒子才會裝滿？」孩子愣了一下，又從第一顆蛋開始重新數，數到 7 停住，不知道接下來要數什麼。過了一會兒，他改去數空的凹槽，可是空格和蛋混在一起，他數著數著就亂了。
同一個盒子，大人一眼就看得出來：上面一排滿了，下面一排有 2 顆，空了 3 格。我們不是數得比較快，而是根本沒有數。這個單元要回答的核心問題是：為什麼 10 是特別好用的數？
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開始前
這個單元的先修是數數。開始之前，先觀察孩子能不能做到下面幾件事：
- 能用「數一個、移一個」的方法數對 10 以內的小物，數完能直接說出「一共有幾個」，不必從頭再數一次。
- 看到 1 到 4 個點，不數就說得出有幾個；看到排成一排的 5 個點，也能很快說出 5。
- 能用手指比出 1 到 10，例如比 7 時伸出一隻手和另一隻手的兩根手指。
三件都做得到，就可以開始。第二件還不熟的話，先回到數數單元做幾次「快閃點卡」，再來湊十。如果孩子已經做過比多少和數線兩個單元，「還差幾個」會更容易，但沒有做過也不影響。
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大人先懂
先從孩子手邊的東西開始。拿一個雞蛋盒，或印一張空白的十格框（ten frame）：兩排、每排 5 格、一共 10 格的框。請孩子把 7 顆鈕扣一格放一顆，從上排左邊開始放，放滿上排再放下排。
放好以後，不用數也看得出來是 7：上排滿了，是 5；下排有 2 顆。這正是數數單元講過的速辨（subitizing）：1 到 4 個一眼就看得出，5 個以上靠「5 和幾」的結構。十格框把這個結構固定下來，每個數都長成同一個樣子。
十格框還多回答了一個問題：還差幾個到 10。數數時，孩子要看出「有幾個」；在十格框上，他還能看出「空了幾格」。7 顆鈕扣放進去，下排剩下 3 個空格，所以 7 再 3 個就是 10。這就是數數和湊十之間的銜接點：速辨從「看出有幾個」延伸成「看出差幾個到 10」。
寫成算式是
讀作「7 加 3 等於 10」，意思是 7 個和 3 個合起來是 10 個。
為什麼放了幾顆和空了幾格，加起來一定是 10？因為框裡一共只有 10 格，每一格不是放了東西，就是空著，沒有第三種可能。放進一顆，空格就少一格；拿出一顆，空格就多一格。所以「有幾個」和「差幾個」永遠一起變，一邊多 1，另一邊就少 1。把 0 到 10 顆一路放過去，就得到 10 的所有組成：1 和 9、2 和 8、3 和 7、4 和 6、5 和 5，再倒過來是 6 和 4、7 和 3，一直到 9 和 1。這些不必死背，孩子在十格框上放過幾次，就能從空格直接讀出來。
5 在這裡是中繼站。一隻手 5 根手指、兩隻手 10 根，十格框也是上排 5、下排 5。6 到 9 都是「5 和幾」，看到上排滿了，只要再看下排；要湊到 10，只要看下排還空幾格。孩子不必在 1 到 10 之間一個一個數，而是先跳到 5，再跳到 10。
那為什麼是 10，不是 7 或 12？因為我們寫數字的方式就是十個十個一組。湊滿 10 個，就可以綁成一捆，寫成十位，這是下一個單元位值的起點。湊十也是之後加減的策略：例如算 8 加 5，先從 5 裡拿 2 個把 8 湊成 10，剩下 3 個，答案就是 10 和 3，也就是 。這是一、二年級才會正式學的方法，現在不必教算式，孩子在十格框上把 10 的組成看熟，以後就用得上。
自學者延伸：用 10 當單位是人類的選擇，不是數學的必然，多半只因為人有十根手指。古代巴比倫人用六十進位（sexagesimal），留到今天的就是一小時 60 分、一分 60 秒；馬雅人用二十進位，連腳趾也算進去；電腦只有開和關兩種狀態，用的是二進位（binary）。不管用幾進位，「湊滿一組就進一位」的想法都一樣。「差幾個到 10」在數學上叫做補數（complement），心算時很好用：算 1000 減 367，可以把 367 的每一位都湊成 9，得到 632，再加 1，就是 633，完全不必借位。電腦也用同一個想法，用二的補數（two’s complement）表示負數，把減法變成加法來做。
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常見迷思
下面三則迷思，都會在親子活動中直接出現。認得出來，就知道該用哪一句引導語。
迷思一：每次都從 1 開始數。孩子看到十格框裡的 8 個點，還是一個一個從 1 數到 8；問他還差幾個，他又從頭數一次。這表示他還沒有用上「上排滿了就是 5」的結構。
十格框上排 5 個、下排 3 個。孩子指著每一個點數「1、2、3、4、5、6、7、8」，數完說 8；問「還差幾個到 10？」他又從 1 開始重數。
孩子看了一眼說：「上面滿了是 5，下面 3 個，是 8。下面還空 2 格，所以差 2 個。」
診斷題：亮出一張 9 個點的十格框卡大約 2 秒就蓋起來，問：「有幾個點？還差幾個到 10？」
看解析
能說出「9，差 1 個」的孩子，已經用上了 5 和 10 的結構。說不出來的孩子，2 秒內來不及一個一個數，表示他還在從 1 數起。這時翻開卡片，問：「上面那排滿了嗎？下面有幾個空格？」讓他先看空格，再回答。
迷思二：數「還差幾個」時，把起點也算進去。孩子用接著數的方法算 7 到 10 差幾個，嘴巴念「7、8、9、10」，數了 4 下，就說差 4 個。
問「7 再幾個是 10？」孩子伸出手指念「7、8、9、10」，看到伸出 4 根手指，說：「4 個。」
孩子先說「現在有 7 個」，然後每多拿一個才伸一根手指：「8、9、10」，伸了 3 根，說：「3 個。」
診斷題：十格框裡放 6 顆鈕扣，請孩子先不要看空格，用接著數的方法說出「再幾顆會滿」，說完再放放看。
看解析
回答 4 的孩子會接著數，而且沒有把 6 算進去。回答 5 的孩子把起點 6 也數了，請他手裡拿著鈕扣，每放進一顆空格才說一個數：「7、8、9、10」，放完問「你放了幾顆？」這和數線單元的迷思「數刻度，而不是數間隔」是同一種錯，做過數線的孩子可以提醒他回想跳格子。
迷思三：會 3 和 7，卻不會 7 和 3。孩子記得「3 和 7 湊成 10」，可是問「7 和幾湊成 10？」他又要重新數，不覺得這是同一組。
孩子很快答出「3 再 7 個是 10」，接著問「7 再幾個是 10？」他從 7 開始一根一根伸手指，好像第一次遇到這個問題。
孩子說：「是 3，因為剛剛 3 和 7 是一組，換過來也一樣。」
診斷題：先問「4 和幾湊成 10？」第一題答完，接著立刻問第二題：「6 和幾湊成 10？」不給孩子伸手指或擺小物的時間。
看解析
第二題立刻答出 4 的孩子，已經把 4 和 6 看成同一組。要重新數才答得出來的孩子，即使最後答對，也算是還沒把兩個方向看成同一組。這時請他在十格框上放 4 顆，問：「空了幾格？」再把鈕扣全部拿出來，改放 6 顆，問：「這次空了幾格？」兩次對照，他會看到 4 和 6、6 和 4 是同一組，只是換了哪一邊放鈕扣。
6 / 9和孩子一起
親子活動
三個活動沿用前面單元的那盒小物（約 30 個鈕扣、積木或豆子）和數字卡 0–20，另外印好十格框，裡面有空白十格框和 1 到 10 的圓點十格框卡。再準備一個不透明的杯子或碗。
把十格框放滿
約 10 分鐘- 目的
在十格框上看出放了幾個、空了幾格，知道兩者合起來一定是 10。
- 材料
- 時間
- 10 分鐘
- 步驟
- 和孩子說好放的規則：從上排左邊開始，一格放一個，上排放滿才放下排。
- 請孩子放 6 個小物。放完問：「放了幾個？你是怎麼看出來的？」
- 再問：「還要放幾個才會滿？」先請孩子說答案，再從數字卡找出這個數，最後真的放放看。
- 把小物全部拿出來，換成放 8 個、3 個、9 個，每次都先問「放了幾個」，再問「還差幾個」。
- 孩子熟練以後，換孩子出題：他放，家長回答，家長可以故意多數一個空格，讓孩子檢查。
- 家長引導語
上面那排滿了嗎？滿了是幾個？下面還有幾格是空的？放了幾個和空了幾格，合起來是幾？
- 卡關時
孩子一個一個從 1 數：先蓋住下排，只問「上面這排有幾個？」等他說出 5，再打開下排問「下面多幾個？」孩子數空格時漏數：請他用手指點著空格，每點一格說一個數。
- 回饋語範例
你先看上面那排滿了，再看下面，所以不用一個一個數就知道是 8。
快閃十格框
約 5–10 分鐘- 目的
不數就看出十格框裡有幾個點，並且一眼說出還差幾個到 10。
- 材料
- 時間
- 5–10 分鐘
- 步驟
- 先用 5 到 10 的卡。家長拿起一張，亮給孩子看大約 2 秒就蓋回去。
- 問：「有幾個點？」孩子說完，翻開卡片對答案。
- 再問：「還差幾個到 10？」請孩子從數字卡找出這個數，放在點卡旁邊。
- 熟練以後加入 1 到 4 的卡，這些卡的空格比點多，看空格反而比較難。
- 最後換孩子亮牌，家長回答，家長可以故意說錯一次空格的數，讓孩子檢查。
- 家長引導語
你是怎麼看出來的？上面那排滿了嗎？空格在哪裡？有幾個？
- 卡關時
孩子 2 秒內來不及說：把亮牌時間拉長到 4 秒，問「上面那排有幾個？下面又多幾個？」孩子說得出有幾個，卻說不出差幾個：翻開卡片，請他用手指點空格，點完再蓋上重來一次。
- 回饋語範例
你這次先看空格，所以很快就說出差 3 個。
杯子藏了幾個
約 5–10 分鐘- 目的
不靠十格框，在腦中想出 10 的組成：看到外面有幾個，就知道杯子底下藏了幾個。
- 材料
小物盒裡的 10 個小物，一個不透明的杯子或碗，數字卡 0–20的 0 到 10。
- 時間
- 5–10 分鐘
- 步驟
- 和孩子一起數出 10 個小物，排成上下兩排、每排 5 個，確認一共是 10 個。
- 請孩子閉上眼睛。家長把其中幾個用杯子蓋起來，剩下的留在外面。
- 請孩子張開眼睛，問：「外面有幾個？杯子底下藏了幾個？」
- 孩子回答後，請他從數字卡找出藏起來的數，再掀開杯子數數看。
- 換孩子藏、家長猜，輪流做五到六次，每次藏的數量都換。
- 家長引導語
外面有幾個？一共有 10 個，外面是 6 個，那杯子底下是幾個？你猜的和掀開的一樣嗎？
- 卡關時
孩子想不出藏了幾個：把外面的小物排回十格框的樣子，問「空格有幾個？」孩子把外面的數當成藏起來的數：指著杯子問「我問的是看不到的這些，有幾個？」
- 回饋語範例
你用外面的 6 個去想 10 還差幾個，沒有掀開杯子就算出來了。
7 / 9和孩子一起
練習與解析
- 在十格框裡放 6 顆鈕扣，用一張紙蓋住，問：「還差幾顆會放滿？」
看解析
差 4 顆。蓋住以後孩子看不到空格，只能靠記得的 6 去想。答 4 表示他已經把 6 和 4 連在一起。答不出來時，掀開紙讓他看空格，看完再蓋上問一次。答 5 的孩子可能是把 6 也數了進去，請他回想「放一顆才數一個」。
- 請孩子看下面這張圖，說出有幾個實心點、還差幾個到 10，並說說他是怎麼看出來的。
看解析
8 個實心點，差 2 個。說「上面 5 個、下面 3 個」的孩子，用的是 5 的結構；一個一個數到 8 也算對，但可以接著問：「有沒有不用數就知道的方法？」把空心圓也算進去答 10 的孩子，是把「有幾個」和「一共幾格」混在一起，請他只指實心的點。
- 請孩子伸出 10 根手指，再彎下 3 根，問：「還伸著幾根？」請他不要數，用看的。
看解析
7 根。看出「一隻手全開是 5，另一隻手伸著 2 根」的孩子，正在用 5 當中繼站。一定要一根一根數的孩子，請他先只看全開的那隻手：「這隻手有幾根？不用數。」
- 先問：「2 和幾湊成 10？」再問：「8 和幾湊成 10？」
看解析
8 和 2。第二題如果要從頭想，表示孩子還沒發現 2 和 8 是同一組。可以請他在十格框放 2 顆，問「空了幾格？」，再改放 8 顆，問同一個問題，讓他看到兩次是同一組數換了位置。
- 上排擺 10 個積木，下排擺 7 個積木，兩排從左邊對齊，問：「上排比下排多幾個？」
看解析
多 3 個。這題把比多少的配對和湊十放在一起：上排 10 個配下排 7 個，沒配到的 3 個，正好就是 7 差幾個到 10。回答「10 個」的孩子是把「多幾個」當成「有幾個」，請他蓋住配好的 7 對再看。
- 在膠帶數線或線性數字盤面 0–10上，請孩子站在 7，問：「跳幾步會到 10？」先回答，再跳。
看解析
3 步。答 4 的孩子把起點 7 也數進去了，和迷思二是同一件事，請他站在 7 不動，問「你跳了嗎？」再一步一步跳。跳完可以問：「7 和幾湊成 10？跟你跳的步數一樣嗎？」
- 雞蛋盒裡已經有 8 顆蛋，你又拿來 5 顆，問：「先把盒子放滿，盒子外面還剩幾顆？」
看解析
放 2 顆就滿了，外面還剩 3 顆。這題比活動難一點，孩子要先想 8 差 2 個到 10，再把 5 顆分成 2 顆和 3 顆。答不出來時，讓他真的把蛋或小物一顆一顆放進去，放滿了停下來，再數手上剩的。不必問一共有幾顆，也不必寫算式，這是之後學加法的準備。
8 / 9和孩子一起
隔天再問
隔天找一個空檔，不給提示地問下面三題，答錯也不必當場糾正，記下來，下次活動多練那一部分。
- 「7 和幾湊成 10？」
看提示
3。孩子要從 7 一根一根伸手指才答得出，下次多做幾次「快閃十格框」，練習直接看空格。
- 「十格框的上面一排放滿了，是幾個？」
看提示
5。答不出來的孩子還沒把上排當成一個整體，下次做「把十格框放滿」時，每次放滿上排就停下來問一次。
- 「一共 10 個，杯子外面有 4 個，杯子底下藏了幾個？」
看提示
6。孩子答 4，是把外面的數當成藏起來的數，下次做「杯子藏了幾個」時，先請他指著杯子說「我要猜的是這裡面」。
9 / 9
下一步
湊十讓孩子看到 10 個是一個整齊的單位，下一個單元「位值」就把湊滿的 10 個綁成一捆，寫數字時放在十位，13 就是一捆再加 3 根。