位值：同一個 3 不一樣大
為什麼 3 寫在不同位置代表不同的量？
1 / 9
給家長的話
這一篇寫給你。你不需要自己很會數學：先讀「大人先懂」，再挑一個親子活動帶孩子做。你負責安排和提問，不需要講解；孩子負責動手、說出想法。陪孩子的時候，請避免說「我數學不好」，這句話容易讓孩子也開始怕數學。第一次使用，請先看「親子共學怎麼用」。
2 / 9
情境開場
孩子在客廳開了一間小商店，用紙條幫玩具標價錢。你說：「這台小汽車賣三十五元。」他想了一下，認真寫下 305。你問他為什麼，他說：「三十就是 30，五就是 5，所以是 30 和 5。」他沒有亂寫，他是照著聽到的，一段一段寫下來。
過幾天，你拿出兩張數字卡，一張 13、一張 31，問他哪一張比較大。他看了看說：「一樣大，都是 1 和 3。」在他眼裡，卡片上的 3 就是 3，放在左邊或右邊都一樣。
孩子明明會從 1 數到 50，也認得每一個數字，卻在這裡卡住。卡住的地方是同一件事，也就是這個單元的核心問題：為什麼 3 寫在不同位置代表不同的量？
3 / 9
開始前
這個單元的先修是湊十，再往前是數數。開始之前，先觀察孩子能不能做到下面幾件事：
- 能用「數一個、移一個」的方法，數對 30 個左右的小物，數完直接說出一共有幾個。
- 看到 7 個東西，能說出「再 3 個就湊成 10」；看到兩排各 5 個，不必數就知道是 10。
- 能從 1 念到 50，念到 29 能接著說 30，念到 39 能接著說 40。
三件都做得到，就可以開始。如果孩子數到 20 以上常常數亂，先只做「綁一捆」，而且只抓 11 到 20 根，一次只綁一捆，等數熟了再加多。
4 / 9
大人先懂
在湊十單元，孩子學到 10 是一個特別好用的數：看出幾和幾湊成 10，就能很快知道一共有多少。位值把「湊滿 10」再往前推一步：湊滿 10 根，就用橡皮筋綁起來，變成 1 捆。10 個一，綁成 1 個十。這就是湊十和位值之間的銜接點。
先用手邊的東西體會一次。抓一把吸管放在桌上，不要一根一根數到底，而是每數到 10 根就綁一捆。綁完以後桌上有 2 捆，旁邊還剩 3 根綁不起來。不用從頭再數，你已經知道一共是 23 根：2 捆是 20 根，再加 3 根。數得越多，綁捆的好處越明顯。散開的 23 根很容易數亂，綁成 2 捆 3 根，一眼就看得出來，也很容易檢查：拆開一捆數一數，是不是 10 根。
把 2 捆 3 根寫成數字，就是 23。寫的時候，捆數寫在左邊，根數寫在右邊。右邊這一位叫個位（ones place），寫的是幾個一；左邊這一位叫十位（tens place），寫的是幾個十。所以 23 的 2 不是 2 根，而是 2 捆；3 才是 3 根。十位的 1 是一捆，個位的 1 是一根。這種「數字代表多少，要看它寫在哪一位」的記數方法，叫做位值（place value）。
現在回到情境開場的 13 和 31。13 是 1 捆 3 根，31 是 3 捆 1 根。同樣是一個 1 和一個 3，31 的 3 是 3 捆，也就是 30 根；13 的 3 只是 3 根。
同樣的規則可以一直往左用。10 根綁成 1 捆，10 捆再綁成 1 大捆，這一大捆是 100 根，寫在十位左邊的那一位，叫百位（hundreds place）。每往左一位，一個單位就變成原來的 10 倍。也因為湊滿 10 就要綁起來、往左移一位，每一位上最多只會有 9 個，所以只要 0 到 9 這十個數字，就能寫出任何正整數。
這也說明了 0 為什麼不能省。30 根吸管是 3 捆，沒有單根。寫成 30 時，個位的 0 告訴你「這裡一根都沒有」，同時把 3 撐在十位上。拿掉 0，只剩一個 3，3 就退回個位，變成 3 根。103 也一樣：1 大捆、0 捆、3 根。十位的 0 不能省，省掉就成了 13。0 在這裡的工作是佔住一個位置。
再看情境開場的 305。中文念數時，會把單位念出來：「三十五」是三個十、五個一，「一百零三」是一個百、沒有十、三個一。寫的時候卻不寫單位，單位全靠位置表示。孩子把「三十」寫成 30、再把「五」接在後面，是把念出來的每一段都寫成一個數。其實「五」要寫進 30 的個位，取代那個 0。中文的念法已經算很規則：Miura 等人在 1988 年與 1993 年的跨國比較發現，同年級的孩子用積木表示兩位數時，說中文、日文、韓文的孩子比說英文的孩子更常用「幾捆幾根」的方式表示，研究者認為原因之一是中文、日文、韓文的數詞直接念出十和一的結構，例如「十一」「二十一」。所以念法其實是幫手，只要讓孩子看見「三十五」的「十」就是一捆。
同一件事也可以放到數線上看。如果孩子已經學過數線，23 就是從 0 出發，先走 2 個 10 步，再走 3 步。
最後走到符號。把 2 捆 3 根拆成「捆的部分」和「根的部分」，可以寫成
讀作「23 等於 20 加 3」，意思是 2 捆是 20 根，再加上 3 根。這種把每一位拆開寫的方法叫做展開記法（expanded notation），例如 ，。展開記法是給大人看清結構用的，帶孩子時說「幾捆幾根」就夠了。
自學者延伸：位值並不是理所當然的發明。羅馬數字把 23 寫成 XXIII，X 不論放在哪裡都是 10，符號自己帶著大小，所以不需要 0，可是做加減就很麻煩。從印度經阿拉伯世界傳到歐洲的位值記數，靠的正是 0 這個佔位的符號。用次方寫，， 讀作「乘」，其中 讀作「10 的 2 次方」，就是 ；每往左一位，就多乘一次 10。把「湊滿 10 就綁」換成「湊滿 2 就綁」，就得到電腦使用的二進位（binary）：二進位的 1011 是 1 個 8、0 個 4、1 個 2、1 個 1，合起來是 11。規則完全一樣，只是每一捆的大小不同。
5 / 9
常見迷思
下面三則迷思，都會在親子活動中直接出現。認得出來，就知道該用哪一句引導語。
迷思一：照著念的寫。這是情境開場的 305。孩子把念出來的每一段各寫成一個數，再接在一起。數越大越明顯，「一百零三」可能寫成 1003，甚至 10003。
家長說「三十五」，孩子先寫 30，再在後面寫 5，變成 305。
孩子先想「三十五是 3 捆 5 根」，在十位放 3、個位放 5，寫成 35。
診斷題：不給任何提示，念「四十七」，請孩子寫下來；接著念「一百零六」，再請他寫。
看解析
寫成 47 和 106 的孩子，已經知道單位要靠位置表示。寫成 407 或 1006 的孩子，是把每一段念法各寫成一個數。不必說他錯，請他在位值板上用吸管擺出「四十七」，再把數字卡放到下面的小框裡，問：「十那一欄有幾捆？個那一欄有幾根？那要寫幾個數字？」
迷思二：每個數字只代表它自己。孩子會寫 16，也會數 16 根，可是不知道 16 的 1 指的是 10 根。Kamii（1986 年前後）用 16 個小物做過這個檢查：請孩子數好 16 個，寫下 16，再指著 16 的 1 問「這個 1 是哪些？」很多會寫兩位數的孩子只拿出 1 個。本單元的活動改用吸管做同樣的檢查。
孩子數好 16 根吸管，寫下 16。家長指著 1 問：「這個 1 是哪些吸管？」孩子拿起 1 根。再指著 6 問，孩子拿起 6 根，剩下 9 根他說「不知道」。
孩子先綁好 1 捆，旁邊 6 根。家長指著 1 問，孩子拿起那一捆說：「這個 1 是這 10 根。」
診斷題：數好 25 根吸管，先不要綁，指著寫下的 25 的 2 問：「這個 2 是哪些吸管？請你拿給我。」
看解析
拿出 20 根，或先綁成 2 捆再拿出來的孩子，已經知道十位的 2 是 2 個十。只拿出 2 根的孩子，還把每個數字當成它自己。這時問：「你拿了 2 根，5 根是另一個數字。那剩下的這 18 根，是哪個數字的？」讓他發現說不通，再請他每 10 根綁一捆重新看一次。
迷思三：0 什麼都沒有，所以可以不寫。孩子知道 0 是「沒有」，就覺得它不重要，把 30 寫成 3，把 103 寫成 13。
位值板上有 1 大捆、沒有捆、3 根。孩子在「百」放 1、在「個」放 3，中間的框空著，念成「十三」。
孩子在中間的框放一張 0，說：「十這一欄一捆都沒有，所以放 0，這樣 1 才會留在百那一欄。」念成「一百零三」。
診斷題：在位值板上擺 4 捆、沒有單根，請孩子用數字卡擺出這是多少；再擺 1 大捆、沒有捆、4 根，請他再擺一次。
看解析
擺出 40 和 104 的孩子，知道 0 要佔住空的那一欄。擺成 4 和 14 的孩子，把 0 當成可以省的東西。請他把自己擺的 4 念出來，問：「4 是 4 根，可是板子上有 4 捆，是一樣的嗎？」再問：「那要怎麼讓 4 留在十那一欄？」
6 / 9和孩子一起
親子活動
三個活動都用吸管或冰棒棍和一把橡皮筋：前兩個活動約 100 根，「搶先綁到 50」兩人一起玩要約 200 根。另外印好位值板與數字卡。從這個單元開始，小物盒補到約 50 個，或另備一把吸管；沒有吸管時，可以把小物每 10 個裝進一個小杯子，一杯就是一捆。活動開頭也可以先用前面幾個單元的數字卡 0–20。
綁一捆
約 10–15 分鐘- 目的
湊滿 10 根就綁成一捆，用「幾捆幾根」說出一共有幾根，並寫成兩位數。
- 材料
- 時間
- 10–15 分鐘
- 步驟
- 第一輪抓 11 到 20 根放在桌上，請孩子先猜大約有幾根。
- 請孩子一根一根數，數到 10 就停下來，用橡皮筋綁成一捆。
- 綁不起來的單根放在捆的右邊，問：「有幾捆？幾根？所以一共有幾根？」
- 請孩子從數字卡 0–20 找出這個數，放在旁邊。
- 第二輪起抓 20 到 50 根，同樣數到 10 就綁。綁完後改用 0–9 數字卡，捆數的卡放左邊，根數的卡放右邊。
- 最後請孩子拆開其中一捆，數一數是不是 10 根，再綁回去。
- 家長引導語
你綁了幾捆？旁邊還剩幾根？那這張卡上的 3 是說捆，還是說根？如果再多 7 根，可以再綁一捆嗎？
- 卡關時
孩子數到 10 忘了停，一路數下去：在第 10 根放下去時，家長拍一下手提醒「滿 10 了」。孩子說得出「2 捆 3 根」，卻說不出一共幾根：請他一捆一捆數，「10、20」，再接著一根一根數，「21、22、23」。
- 回饋語範例
你每數到 10 就綁起來，所以最後不用從頭再數一次，看捆數和根數就知道了。
位值板擺擺看
約 10 分鐘- 目的
發現數字放在哪一欄，就代表幾個什麼；認識 0 要佔住空的那一欄，以及 10 捆可以綁成 1 個百。
- 材料
位值板與數字卡，上一個活動綁好的吸管捆和單根，一包約 100 根的吸管。
- 時間
- 10 分鐘
- 步驟
- 家長念一個數，例如「二十四」，孩子在位值板的「十」擺 2 捆、「個」擺 4 根，再在下方的小框放數字卡 2 和 4。
- 換成 42，問：「和剛才一樣是 2 和 4，吸管一樣多嗎？」請孩子擺出來比。
- 念「三十」，請孩子擺出來，再問：「個那一欄要放什麼卡？」接著念「三」，比較兩次的板子。
- 請孩子把 10 捆綁成一大捆，放進「百」那一欄，問：「這一大捆是幾根？」
- 擺 1 大捆、0 捆、3 根，請孩子放數字卡並念出來；再擺 1 捆 3 根，比較 103 和 13。
- 家長引導語
這張 4 放在哪一欄？那它是 4 根還是 4 捆？十那一欄空空的，要放什麼卡，才看得出這一欄沒有？
- 卡關時
孩子把卡片照念的順序排成一長串，例如「三十」放了 3 和 0 以後，「五」又放在旁邊：請他看板子，問「個那一欄已經有卡了嗎？五根要放哪一欄？」孩子不想綁 10 捆：家長幫忙綁，請孩子數捆數。
- 回饋語範例
你先看吸管放在哪一欄，再決定放哪張卡，所以 42 和 24 一下就分出來了。
搶先綁到 50
約 10–15 分鐘- 目的
一邊加吸管一邊湊十、綁捆，體會「滿 10 就往左移一欄」，並隨時說出自己有多少。
- 材料
位值板與數字卡印兩份，一人一份；吸管約 200 根，橡皮筋 22 條，兩顆骰子（基本玩法只用一顆）。
- 時間
- 10–15 分鐘
- 步驟
- 兩人的位值板都是空的，輪流擲骰。
- 擲到幾，就從吸管堆拿幾根，放進自己的「個」那一欄。
- 「個」那一欄滿 10 根，就綁成一捆，移到「十」那一欄。
- 每一輪結束，各自說出：「我有幾捆幾根，一共是多少。」孩子同時用數字卡擺出來。
- 先到 5 捆的人這一盤結束，也就是 50。玩熟以後改用兩顆骰子，比誰先綁出一大捆，也就是 100。
- 家長引導語
你現在有 8 根，擲到 4，夠不夠再綁一捆？綁完還剩幾根？我是 3 捆 6 根，你是 2 捆 9 根，誰比較多？
- 卡關時
孩子「個」那一欄超過 10 根還不綁：請他數一數「個」那一欄，問「滿 10 了嗎？」孩子不知道擲到 4 加上 8 根會怎樣：請他先拿 2 根湊成 10、綁一捆，再看手上還剩幾根，這就是湊十的做法。
- 回饋語範例
你先拿 2 根把 8 湊成 10，再把剩下的放旁邊，這個方法讓你很快就知道自己有多少。
7 / 9和孩子一起
練習與解析
- 給孩子 4 捆 7 根吸管，問一共有幾根，再請他寫下來。
看解析
47 根。孩子能說出 47 卻寫成 407，回到迷思一，請他把卡片放進位值板的小框。孩子從 1 一根一根數起，表示還不太相信一捆就是 10 根，可以請他拆開一捆數一數，再問：「另外三捆要不要也拆？」
- 請孩子看下面這張圖，說出一共有幾根，並寫下來。
看解析
40 根，寫成 40。寫成 4 的孩子把 0 當成可以省的東西，請他在位值板上擺 4 捆，問：「個那一欄有幾根？要放什麼卡？」答「4 根」的孩子還把每一捆當成 1 根，請他拆開一捆數一數。
- 問孩子：「52 和 25，哪一個多？各是幾捆幾根？」
看解析
52 比較多，52 是 5 捆 2 根，25 是 2 捆 5 根。說「一樣多，都有 2 和 5」的孩子，是迷思二。不要直接說答案，請他用吸管擺出兩個數，問：「哪一邊的捆比較多？」
- 念「六十八」，請孩子寫下來；再念「一百零六」，請他寫下來。
看解析
68 和 106。寫成 608 或 1006 的孩子是照著念的寫；把一百零六寫成 16 的孩子，是把 0 省掉了。兩種都請他到位值板上擺一次，數字卡放好再念一次，問：「念出來的和板子上的一樣嗎？」
- 「你有 3 捆 8 根，我再給你 2 根，現在是幾捆幾根？一共是多少？」
看解析
4 捆 0 根，一共 40。8 根加 2 根剛好湊成 10，就能再綁一捆。答「3 捆 10 根」的孩子算得沒錯，只是還沒想到滿 10 要綁起來，可以問：「10 根可以做什麼？」答 310 的孩子把 10 根直接寫在個位後面，請他擺到位值板上，看「個」那一欄是不是放得下兩張卡。
- 「12 捆又 4 根，一共是多少？」
看解析
124。12 捆裡面有 10 捆可以綁成一大捆，所以是 1 個百、2 個十、4 個一。這題比活動難一些。答 1204 的孩子把 12 和 4 接在一起寫，請他在位值板上試著把 12 捆放進「十」那一欄，問：「這一欄的小框放得下 12 嗎？要怎麼辦？」
- 拿出數字卡 3、0、5，請孩子排出最大的數，再排出最小的三位數。
看解析
最大是 530，最小的三位數是 305。孩子排出 053 當成最小，可以問：「百那一欄是 0 捆，那這個數有幾個百？它還算三位數嗎？」能說出「5 要放在最左邊，因為那一欄最大」，就是把位置和大小連起來了。也可以順便問：「305 念作什麼？」它念作「三百零五」，不是「三十五」。
8 / 9和孩子一起
隔天再問
隔天找一個空檔，不給提示地問下面三題，答錯也不必當場糾正，記下來，下次活動多練那一部分。
- 「23 的 2，是 2 根還是 2 捆？那是幾根？」
看提示
2 捆，也就是 20 根。孩子說「2 根」，下次做「綁一捆」時，綁完後指著數字卡問同樣的問題。
- 「三十要怎麼寫？後面那個 0 可以不寫嗎？」
看提示
寫成 30，0 不能省，省掉就變成 3。孩子說可以不寫，下次在位值板上擺一次 30 和 3，比較兩邊的吸管。
- 「10 捆綁在一起，是多少根？」
看提示
100 根。孩子答不出來，下次玩「搶先綁到 50」時改用兩顆骰子，讓他自己綁出那一大捆。
9 / 9
下一步
滿 10 就往左移一位的規則不會停在百位，十個百是一千，十個千是一萬，下一個單元「大數」就用同一條規則，一路往左讀到萬和億。