數線：數字排成一條線
數字的大小為什麼可以排成一條線上的位置？
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給家長的話
這一篇寫給你。你不需要自己很會數學：先讀「大人先懂」，再挑一個親子活動帶孩子做。你負責安排和提問，不需要講解；孩子負責動手、說出想法。陪孩子的時候，請避免說「我數學不好」，這句話容易讓孩子也開始怕數學。第一次使用，請先看「親子共學怎麼用」。
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情境開場
孩子在玩大富翁類的桌上走格子，擲到 3，從起點那格開始數：「1、2、3。」結果棋子只往前走了 2 格，因為他把原本站的那一格也算成了「1」。你指給他看，他很困惑：明明數了三下啊。
又有一次，你在紙上畫一條線，左邊寫 0、右邊寫 10，請孩子把 3 標上去。他把 3 寫在很靠右的地方，再把 1、2 擠在 0 的旁邊，看起來 3 和 10 中間只剩一小段。對他來說，線上的數只要排對順序就好，隔多遠不重要。
這兩件事背後是同一個問題，也就是這個單元的核心問題：數字的大小為什麼可以排成一條線上的位置？
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開始前
這個單元的先修是比多少，再往前是數數。開始之前，先觀察孩子能不能做到下面幾件事：
- 能從 0 念到 20，順著念不跳號，也能從某個數接著往下念，例如從 6 開始念「7、8、9」。
- 能用配對比出兩堆小物哪一堆比較多，並說出多幾個。
- 走路或跳格子時，能一步說一個數，腳和嘴同步。
三件都做得到，就可以開始。如果孩子還念不到 20，先做前兩個只用 0 到 10 的活動，第三個活動等念熟了再做。
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大人先懂
先從孩子熟悉的東西開始。在數數和比多少兩個單元，孩子已經把小物排成一排。現在把這一排積木一塊接一塊、緊緊靠著放在桌邊，旁邊用筆畫一條線，在第一塊積木的左端寫 0，每一塊積木的右端各畫一個記號，依序寫 1、2、3……
這時 5 寫在哪裡？寫在第 5 塊積木的右端。從 0 走到 5，正好經過 5 塊積木，也就是走了 5 步。這就是數線（number line）最重要的一個想法：一個數在數線上的位置，就是從 0 出發走了幾步。數字不是寫在格子裡，而是寫在一步走完、腳落下的地方。
從這個想法可以推出數線的三個性質。
第一，刻度之間一定要等距。因為每一步都是同一塊積木，長度一樣，所以 0 到 1、1 到 2、7 到 8 都一樣長。如果間隔有寬有窄，同樣是「一步」，走起來卻不一樣遠，位置就不能代表步數了。情境開場裡把 1、2 擠在一起的孩子，就是還沒把位置和步數連起來。
第二，比大小就是看誰離 0 比較遠。7 在 3 的右邊，因為走到 7 要走 7 步，走到 3 只要 3 步，7 離 0 比較遠。寫成符號是 ，讀作「3 小於 7」，意思是 3 在數線上位於 7 的左邊。符號開口的那一邊朝向比較大的數。
第三，「多幾個」就是兩個點之間的距離。這是比多少到數線的銜接點。在比多少單元，7 個和 3 個配對以後，剩下 4 個沒配到，所以 7 比 3 多 4。放到數線上，從 3 走到 7 要走 4 步，3 和 7 之間正好隔了 4 格。沒配到的那 4 個，變成了兩點之間的 4 步。寫成算式還是 ，讀作「7 減 3 等於 4」，只是現在可以把它看成從 3 走到 7 的步數。
這也說明了情境開場裡走格子的錯誤。棋子站在 0 的時候，還沒有走任何一步；擲到 3，要走的是 3 步，數的是「跨出去的那一格」，而不是「原本站的那一格」。數線上數的是間隔，不是刻度。0 到 3 有 4 個刻度，卻只有 3 個間隔，數刻度的孩子就會差 1。
最後說一點研究。Siegler 和 Ramani 讓幼兒玩一種格子排成一直線、每格寫著 1 到 10 的盤面，孩子每走一格都要念出格子上的數，玩了幾次以後，孩子估計數的大小、比大小的能力都明顯進步；同樣的盤面改成彩色格子、不寫數字，就沒有這種效果。所以親子活動裡的盤面一定是直線，走的時候一定要念出數字。
自學者延伸：這條線會一直陪著孩子長大。今天的數線上只有 0、1、2、3 這些整數點，但兩個刻度之間不是空的。以後學分數，（讀作「二分之一」）就在 0 和 1 正中間；學負數，數線往 0 的左邊延伸。到了國中，會遇到像 （讀作「根號 2」）這種寫不成分數的數，它仍然在數線上有一個確定的位置。數學家把數線上的每一個點都對應到一個數，這些數合起來叫做實數（real numbers），這條線就是實數線（real line）。數線上沒有任何「洞」，這件事叫做完備性（completeness），微積分裡的極限就建立在它上面。孩子今天在客廳地板上跳的那條膠帶，就是這條線的起點。
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常見迷思
下面四則迷思，都會在親子活動中直接出現。認得出來，就知道該用哪一句引導語。
迷思一：數刻度，而不是數間隔。孩子問「從 2 到 5 有幾步」時，把 2、3、4、5 四個刻度都數進去，答成 4。
孩子指著數線上的刻度數：「2、3、4、5，有 4 個，所以是 4 步。」
孩子把手指放在 2 上，每跳一格說一個數：「3、4、5，跳了 3 下，是 3 步。」
診斷題：在膠帶數線上，請孩子站在 4，問：「走到 6 要走幾步？」請他先說答案，再真的走。
看解析
回答「2 步」的孩子數的是間隔。回答「3 步」的孩子把起點 4 也算了進去，請他站在 4 不動，問：「你現在走了幾步？」他會說「還沒走」，再請他每跨一步說一次數，跨到 6 時問：「腳跨了幾次？」
迷思二：從 1 起算。走格子或量長度時，孩子把起點當成「1」，結果每次都多算或少走一格。這和迷思一是同一件事的另一面，但出現在不同的地方，所以分開列出。
棋子在 0，擲到 3。孩子說「1」的時候棋子還放在 0 上，接著「2、3」走了兩格，停在 2。
孩子先把棋子跨到 1，說「1」，再跨到 2、3，停在 3。棋子停的位置和擲到的點數一樣。
診斷題：棋子放在 0，請孩子擲骰前先回答：「擲到 4 的話，棋子會停在哪一格？」
看解析
回答「4」的孩子已經知道從 0 走 4 步會停在 4。回答「3」或「5」的孩子還沒把步數和位置連起來，請他實際走一次，邊走邊念，停下來後看棋子底下的數字。
迷思三：畫數線時間距不等。孩子知道順序，但不覺得間隔要一樣長，常常把開頭的數擠在一起，或在數字多的地方越畫越擠。
孩子畫 0 到 10 的數線，0、1、2、3 擠在左邊一小段，後面越畫越寬，10 遠遠在右邊。
孩子先用一塊積木量一格，每畫一個刻度就把積木往右移一塊，畫出來的格子都一樣寬。
診斷題：給孩子一條只標 0 和 10 的線，請他標出 5 的位置。
看解析
把 5 標在正中間附近的孩子，已經把位置當成距離。標得偏左或偏右很多的孩子，可以問：「從 0 走到 5，和從 5 走到 10，哪一段要走比較多步？」兩段都是 5 步，所以應該一樣長。
迷思四：把數線當成只是排順序。孩子把數線看成一排號碼牌，只要 1 在 2 的左邊就好，不覺得位置代表大小。
問孩子：「8 離 10 比較近，還是離 0 比較近？」他回答「都一樣」或「離 0 比較近」，看不出位置和距離有關。
孩子說：「8 離 10 比較近，因為從 8 到 10 只要走 2 步，從 0 到 8 要走 8 步。」
診斷題：在膠帶數線上，問孩子：「3 和 9，誰離 5 比較近？」
看解析
3 比較近，3 到 5 是 2 步，9 到 5 是 4 步。回答「9，因為 9 比較大」的孩子把大小和距離混在一起了，請他站在 5，分別走到 3 和 9，數各走了幾步。
6 / 9和孩子一起
親子活動
三個活動沿用前兩個單元的小物盒和數字卡 0–20，另外印好線性數字盤面 0–10和空白 0–20 數線，並準備一捲紙膠帶和一顆骰子。
膠帶數線跳格子
約 10–15 分鐘- 目的
體會數是從 0 走了幾步的位置，並發現數線上每一步一樣長。
- 材料
一捲紙膠帶，貼在地板或走廊上；數字卡 0–20的 0 到 10；一把捲尺或一條約 30 公分長的繩子，當作量一步的尺。
- 時間
- 10–15 分鐘
- 步驟
- 在地上貼一條長膠帶。用捲尺或繩子量，每隔約 30 公分貼一小段橫的膠帶當刻度，貼出 11 個刻度，一格就是孩子輕鬆跳得過去的一步。
- 和孩子一起把數字卡 0 到 10 依序放在刻度旁邊。放之前先問：「1 要放在哪裡？為什麼？」
- 請孩子站在 0，問：「跳 3 步，會停在哪裡？」先預測，再跳，每跳一步說一個數。
- 換成從 0 跳 6 步、從 0 跳 9 步。
- 請孩子站在 3，問：「跳到 7 要跳幾步？」先預測，再跳。
- 最後請孩子說：「哪一個數離 0 最遠？」
- 家長引導語
你現在站在 0，已經跳了幾步？跳完了，你停的地方和跳的步數一樣嗎？從 3 跳到 7，你跳了幾下？
- 卡關時
孩子站在 0 就說「1」：請他先不要動，問「你跳了嗎？」，等他真的跳出去落地，才說「1」。孩子的步子有大有小：請他每一步都踩在刻度上，不要踩在兩個刻度中間。
- 回饋語範例
你每跳一下才說一個數，所以停的地方剛好就是你跳的步數。
數字盤面走格子
約 10–15 分鐘- 目的
在直線的盤面上一格一格走、念出數字，把數的大小和位置連起來。
- 材料
線性數字盤面 0–10，一顆骰子，小物盒裡的兩個小物當棋子。骰子擲到 4、5、6 就重擲，只用 1、2、3，讓一盤可以走比較多次。
- 時間
- 10–15 分鐘
- 步驟
- 兩個棋子都放在 0。家長和孩子輪流擲骰。
- 擲到幾，就往右走幾格，每走一格都念出那一格上的數字，例如棋子在 2、擲到 3，就念「3、4、5」。
- 走完後問：「你現在在幾？剛剛在幾？走了幾格？」
- 先到 10 的人這一盤結束。擲出的點數比剩下的格數多，也算到達 10。
- 玩兩到三盤。第二盤開始，擲骰前先請孩子預測：「擲到 2 的話，你會停在哪裡？」
- 家長引導語
你現在在幾？擲到 3，會停在哪裡？我在 4、你在 7，誰離 10 比較近？
- 卡關時
孩子念自己數的「1、2、3」而不是格子上的數：請他手指指著格子念格子上寫的數字。孩子把棋子原本站的格子算成第一格：請他把棋子先拿起來，跨到下一格才開始念。
- 回饋語範例
你每走一格都念出上面的數字，所以知道自己走到哪裡了。
空白數線找 7
約 10 分鐘- 目的
在只標 0 和 20 的線上估計 7 的位置，再用量的方法檢查，體會位置代表離 0 多遠。
- 材料
空白 0–20 數線，一枝鉛筆，一把尺；沒有尺時，用小物盒裡大小一樣的小物代替。
- 時間
- 10 分鐘
- 步驟
- 指著第一條數線說：「這邊是 0，那邊是 20。7 在哪裡？」請孩子用鉛筆點一個點。
- 問：「10 會在哪裡？」請孩子把紙對折，看折痕和他心裡的 10 是不是一樣。
- 家長先量一下 0 到 20 是不是 16 公分，確認列印沒有縮放，再用尺從 0 量 56 公釐，在線的下方畫一個小記號，這就是 7。印出來的數線每 1 是 8 公釐。
- 比較孩子的點和記號，問：「差多遠？太靠左還是太靠右？」
- 換第二條數線，請孩子先找 10，再估 7，看看是不是比第一次更接近。
- 能估得很接近以後，在第三條試 15、第四條試 3。
- 家長引導語
你為什麼點在這裡？7 比 10 大還是小？那它應該在 10 的哪一邊？離 0 比較近，還是離 20 比較近？
- 卡關時
孩子把 7 點得非常靠右：先請他找出 10，再問「7 比 10 小，應該在 10 的左邊還是右邊？」孩子不知道從哪裡開始：請他先找中間的 10，再把 0 到 10 那一半想成一條小數線。
- 回饋語範例
你先找到中間的 10，再從 10 往回想，這個方法讓你估得更準。
7 / 9和孩子一起
練習與解析
- 請孩子站在膠帶數線的 2，問：「跳到 8 要跳幾步？」先回答，再跳。
看解析
6 步。答 7 的孩子把起點 2 也數進去了，請他站在 2 不動，問「你跳了幾步？」，再一步一步跳。這題和比多少的「8 比 2 多幾個」是同一件事，可以問：「8 個和 2 個配對，會剩下幾個？」
- 請孩子看下面這張圖，說出跳了幾步、停在哪裡。
看解析
跳了 4 步，停在 6。答 5 步的孩子數的是 2、3、4、5、6 五個刻度，請他用手指沿著弧線一道一道描，描一道說一個數。
- 在紙上畫一條線，左端寫 0、右端寫 100，請孩子標出 50 的位置，再標出 10 和 90。
看解析
50 在正中間，10 很靠近 0，90 很靠近 100。這題比活動的 0–20 難。孩子常把 10 標得太右邊，因為 10 在他心裡已經是「很大的數」。可以問：「10 和 100，哪個離 0 比較近？」再請他想像把 0 到 100 分成 10 段，每段是 10。
- 同一條 0–100 的線，請孩子標出 25 和 70。
看解析
25 大約在 0 和 50 的正中間，70 在 50 和 100 之間、稍微靠近 50 的地方。孩子能先找 50、再往兩邊想，就是很好的策略。標得差一點沒關係，重點是 25 在 50 的左邊、70 在 50 的右邊，而且 25 離 0 比 70 近得多。把 70 標得很靠近 100 的孩子，多半只想到「70 很大」，沒有先找 50。這時問他：「70 離 50 近，還是離 100 近？各要走幾個 10？」
- 問孩子：「6 和 9，哪一個比較大？在數線上，誰比較靠右？」再請他說出 6 和 9 差幾。
看解析
9 比較大，9 比較靠右，差 3。這題把比大小、位置和距離放在一起問。孩子能說「9 比較大」卻說不出差幾，請他在膠帶數線上從 6 走到 9，數走了幾步。
- 擺出 5 顆鈕扣和 8 顆鈕扣，先用配對比出多幾顆，再到膠帶數線上從 5 走到 8。
看解析
多 3 顆，從 5 走到 8 也是 3 步。這題把比多少和數線放在一起，讓孩子看到沒配到的 3 顆和 3 步是同一個數。孩子兩邊的答案不一樣時，不必指出哪個錯，問他：「為什麼兩次不一樣？哪一次我們數錯了？」
8 / 9和孩子一起
隔天再問
隔天找一個空檔，不給提示地問下面三題，答錯也不必當場糾正，記下來，下次活動多練那一部分。
- 「站在 0，跳 4 步，會停在哪裡？」
看提示
停在 4。孩子答 3 或 5，下次做「膠帶數線跳格子」時，多練從 0 開始跳。
- 「在數線上，比較大的數在左邊還是右邊？」
看提示
右邊，因為離 0 比較遠。孩子說「左邊」，請他回想膠帶數線上 10 放在哪一頭。
- 「從 3 走到 8，要走幾步？」
看提示
5 步。孩子答 6，是把 3 也數進去了，下次請他站在 3 再跳一次。
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下一步
數線讓孩子看到每個數都有自己的位置，之後的「估算與四捨五入」會用這個位置判斷一個數比較靠近哪一個整十，例如 38 離 40 比離 30 近，所以大約是 40。