估算與四捨五入
不需要算準時，怎麼快速知道大約多少？
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給家長的話
這一篇寫給你。你不需要自己很會數學：先讀「大人先懂」，再挑一個親子活動帶孩子做。你負責安排和提問，不需要講解；孩子負責動手、說出想法。陪孩子的時候，請避免說「我數學不好」，這句話容易讓孩子也開始怕數學。第一次使用，請先看「親子共學怎麼用」。
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情境開場
放學路上，你們走進便利商店。孩子拿起一包 38 元的餅乾，問你：「這個多少錢？」你說 38 元，他又問：「那我存的錢夠不夠？」他的撲滿裡有好幾個十元硬幣，他不知道要拿幾個出來。你腦中很快閃過：「大概 40 元，帶 4 個十元就夠了。」你沒有真的去算，卻很確定答案。
又有一次，孩子要辦生日會，你問他：「班上大概會來幾個人？」他開始一個一個念同學的名字，念了半天還沒念完。其實你只是想知道要買一包 20 個的紙杯還是兩包，「大約 20 多個」就夠用了，不需要知道是 23 個還是 24 個。
大人每天都在做這種「大約」的判斷，孩子卻常以為不算準就不算數。這個單元要回答的核心問題是：不需要算準時，怎麼快速知道大約多少？
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開始前
這個單元有兩個先修：數線和位值。開始之前，先觀察孩子能不能做到下面幾件事：
- 能在膠帶數線或盤面上，從一個數走到另一個數，並說出走了幾步，例如從 6 走到 9 是 3 步。
- 看到 38 能說出「3 個十和 8 個一」，或用十根一捆的吸管、十個一堆的小物擺出 38。
- 能十個十個地數：10、20、30……一直數到 100。
三件都做得到，就可以開始。如果孩子還不會十個十個地數，先只做「找最近的整十」的前兩步，用 0 到 20 的數線練，等熟了再進到兩位數。
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大人先懂
先從手邊的東西開始。在位值單元，孩子把 10 根吸管綁成 1 捆。現在拿 38 根吸管，照樣十根一捆綁好：會綁出 3 捆，還剩 8 根散的。如果只能用「幾捆」來說這堆有多少，你會說 3 捆，還是 4 捆？3 捆是 30 根，差了 8 根；4 捆是 40 根，只差 2 根。再補 2 根就能綁成第 4 捆，所以 38 根比較接近 40 根。
這就是估算（estimation）最常用的想法：把一個數換成附近一個好算、好記的數，例如整十（10、20、30 這種個位是 0 的數）或整百。換掉以後不再準確，但在不需要準確的時候，它讓我們算得快、記得住，也比較容易比較。
再把同一件事放到數線上。數線單元說過，一個數的位置就是從 0 走了幾步，兩個數之間的距離就是它們之間的步數。把 30 到 40 這一段放大來看，38 在哪裡？
38 離 40 只有 2 步，離 30 有 8 步，所以 38 大約是 40。把一個數換成離它最近的整十，叫做「四捨五入到十位」。這裡的規則很簡單：靠近誰就算誰。像 40 這樣換成的整十或整百，課本叫做概數，意思是大概的數。
位值讓這件事不必畫圖也能判斷。38 的十位是 3，表示它已經綁好 3 捆、還不到 4 捆，所以它一定落在 30 和 40 之間。個位是 8，表示它從 30 往右走了 8 步，也就是離 40 只差 2 步。所以判斷的順序是：先看十位，決定落在哪兩個整十之間；再看個位，決定比較靠近哪一邊。個位是 0、1、2、3、4 時，離左邊的整十比較近；是 6、7、8、9 時，離右邊的整十比較近。
剩下一個特別的情況：個位剛好是 5。35 離 30 是 5 步，離 40 也是 5 步，正好在中間，靠近誰都說不上。這時大家約定往大的那一邊算，35 算成 40。這不是因為 35 真的比較靠近 40，而是約定好以後，每個人算出來的答案都一樣。這個約定的結果是：個位 0 到 4 這五種往下捨，5 到 9 這五種往上進，所以叫「四捨五入法」（rounding）。
寫成符號時，用 表示「大約等於」：
讀作「38 約等於 40」，意思是 38 換成最近的整十是 40。它和等號不一樣：等號兩邊完全一樣大，約等號兩邊只是很接近。
不過，估算不只四捨五入這一種方向，要看估出來的數拿去做什麼。帶錢買 23 元的東西，四捨五入是 20 元，可是只帶 2 個十元硬幣就不夠，必須帶 3 個。這種不管個位是多少、只要有剩就往上算一個整十的做法，叫做無條件進入法（rounding up）。反過來，47 顆草莓，每盒裝 10 顆，問可以裝滿幾盒：四捨五入是 50，可是只能裝滿 4 盒，剩下的 7 顆裝不滿第 5 盒。這種不管個位是多少、一律往下算的做法，叫做無條件捨去法（rounding down）。估人數、估一堆豆子這類沒有「一定要夠」或「一定要滿」的情況，就用四捨五入法。
三種方向的共同點是都換成整十；不同的是，你要的答案是「最接近」、「一定夠」還是「一定滿」。孩子在活動裡要練的，就是先問自己這個問題，再決定往哪邊估。
最後，估算還有一個用途：檢查答案合不合理。大人算 29 加 42，如果算出 611，先估一下：29 大約 30，42 大約 40，合起來大約 70，611 差太多，一定哪裡算錯了。孩子現在還不必做這種計算，但「先估一個大約，再看準確的答案有沒有離它太遠」這個習慣，可以從估一把豆子有幾個就開始養成。
自學者延伸：同一條「靠近誰就算誰」的規則，一路適用到很大的數：23,396,512 取到萬位，要看千位的 6，所以約是 2340 萬。至於「5 往上進」，只是約定之一。把很多筆金額各自四捨五入再加總，剛好是 5 的那些每次都往上，總和就會系統性地偏大。所以部分程式語言（例如 Python 的 round）與 IEEE 754 浮點數運算的預設捨入方式，都採用「捨入到偶數」（round half to even，俗稱銀行家捨入）：2.5 變成 2，3.5 變成 4，剛好在中間的一半往上、一半往下，長期下來偏差互相抵消。在 Python 裡輸入 round(2.5)，得到的就是 2。量測也是一種估算：用尺量到 12.3 公分，最後一位已經是估計值，這些可信的位數叫做有效數字（significant figures）。電腦裡的小數同樣是近似值，0.1 存進去其實是一個非常接近 0.1 的數，所以 0.1 加 0.2 在很多程式裡會印出 0.30000000000000004。
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常見迷思
下面三則迷思，都會在親子活動中直接出現。認得出來，就知道該用哪一句引導語。
迷思一：只看十位，把個位直接丟掉。孩子知道 38 有 3 個十，就說「38 大約是 30」，不管個位是 2 還是 8，一律往下算。他把「大約」理解成「去掉零頭」，沒有想到要比較離哪邊比較近。
問孩子：「38 大約是幾十？」孩子說：「30，因為 38 有 3 個十。」問 32 和 39，他也都說 30。
孩子把小物放在 30 到 40 數線的 38 上，往左數到 30 要 8 步，往右數到 40 只要 2 步，說：「38 比較靠近 40，所以大約是 40。」
診斷題：問孩子：「29 大約是幾十？」
看解析
答「30」的孩子已經在比較遠近：29 離 30 只有 1 步。答「20」的孩子是看十位的 2 就決定了，這正是這則迷思。請他在 20 到 30 的數線上找到 29，問：「走到 20 要幾步？走到 30 要幾步？哪一個比較近？」
迷思二：估算一律四捨五入，不看要拿來做什麼。孩子學會四捨五入以後，常常每次都用它，在需要「一定夠」或「一定滿」的情況也一樣。
買 23 元的貼紙，只能用十元硬幣付。孩子說：「23 大約是 20，帶 2 個十元就好。」到了店裡才發現不夠。
孩子說：「帶 2 個十元是 20 元，還差 3 元，所以要帶 3 個。雖然 23 比較靠近 20，可是帶錢一定要夠，要往上算。」
診斷題：「有 37 顆糖，每包裝 10 顆，可以裝滿幾包？」
看解析
3 包，剩下 7 顆裝不滿。答「4 包」的孩子是把 37 四捨五入成 40，請他真的用小物裝裝看，問：「第 4 包裝滿了嗎？」
迷思三：一步一步往前進位。這則常出現在練到整百的時候。孩子估 145 大約是幾百，先把 145 看成 150，再把 150 看成 200，答「200」。每一步看起來都照規則，結果卻錯了。
孩子說：「145 的個位是 5，進位變成 150；150 的十位是 5，再進位變成 200。所以 145 大約是 200。」
孩子說：「145 有 1 個百，所以在 100 和 200 之間。要看的是十位，十位是 4，還沒到中間的 150，所以比較靠近 100。」
診斷題：「245 大約是幾百？」
看解析
200。答「300」的孩子是先把 245 進成 250，再把 250 進成 300。請他回到數線：245 到 200 是 45，到 300 是 55，哪一個比較近？告訴他四捨五入只看一次，看的是要估的那一位的下一位，到整百就看十位。
6 / 9和孩子一起
親子活動
三個活動沿用前面單元的小物盒和數字卡 0–20，另外印好整十數線 0–100，並準備幾個十元硬幣和三、四個杯子或小盒子。
找最近的整十
約 10–15 分鐘- 目的
在數線上看出一個數落在哪兩個整十之間、比較靠近哪一個，說出它大約是幾十。
- 材料
整十數線 0–100，剪成一條一條；數字卡 0–20；小物盒裡的一個小物當作標記。
- 時間
- 10–15 分鐘
- 步驟
- 先拿出 0 到 10 和 10 到 20 兩條數線。從數字卡抽一張，例如 13，請孩子把小物放在數線的 13 上。
- 問：「13 在哪兩個整十中間？」孩子說「10 和 20」以後，請他用手指從 13 往左走到 10、再從 13 往右走到 20，各數幾步。
- 問：「哪一邊比較近？所以 13 大約是幾十？」
- 再抽兩、三張數字卡，其中一張故意放 15，問：「15 往兩邊都走幾步？那要算哪一個？」告訴孩子大家約定剛好在中間時算大的那一個。
- 換成兩位數。家長說一個數，例如 38、62、45，請孩子先說出十位是幾，自己從整十數線裡找出對的那一條，例如 38 要找 30 到 40 那條，再放小物、數兩邊各幾步。
- 最後拿 0 到 100 那條，請孩子把小物大約放在 38 的位置，看它是不是比較靠近 40 那個刻度。
- 家長引導語
這個數有幾個十？所以它在哪兩個整十中間？往左走到整十要幾步，往右呢？哪一邊比較近？
- 卡關時
孩子找錯數線，例如把 38 放到 80 到 90 那條：請他先用小物擺出 38，數有幾堆十，再找那個整十開頭的數線。孩子數步數時把起點也數進去，說 38 到 40 是 3 步：請他把手指放在 38 不動，問「你走了嗎？」，跨出去才開始數。
- 回饋語範例
你先看十位找到對的那一條數線，再數兩邊的步數，所以很快就知道它靠近哪一邊。
帶夠錢、裝滿盒
約 10 分鐘- 目的
發現同樣是估成整十，帶錢要往上算才夠，裝盒子要往下算才滿，依情境選擇估算的方向。
- 材料
5 個十元硬幣，沒有的話用小物盒裡的小物代替，一個代表十元；幾張自己寫的價錢紙條，例如 23 元、38 元、41 元、19 元；小物盒裡的小物約 50 個，小物盒不夠時，加一把豆子或吸管補到約 50 個；三、四個杯子或小盒子。
- 時間
- 10 分鐘
- 步驟
- 拿出寫著 23 元的紙條，說：「我們只能用十元硬幣付錢，要帶幾個才夠？」請孩子先說答案，再把硬幣排出來，一個一個說「10、20、30」。
- 問：「帶 2 個是 20 元，夠不夠？」等孩子發現不夠，再問：「23 比較靠近 20，為什麼還是要帶 3 個？」
- 換 38 元、41 元、19 元各做一次。41 元時特別問：「41 很靠近 40，帶 4 個夠嗎？」
- 換成裝盒子。數出 34 個小物，說：「每個杯子裝 10 個，可以裝滿幾杯？」請孩子先說答案，再一杯一杯裝。
- 裝完問：「剩下的 4 個能裝滿一杯嗎？所以裝滿的是幾杯？」再換 47 個做一次。
- 最後問：「帶錢的時候，我們都往大的那邊算；裝杯子的時候呢？為什麼不一樣？」
- 家長引導語
帶這麼多夠不夠？還差多少？剩下的能不能再裝滿一杯？帶錢的時候，寧可多一點還是少一點？
- 卡關時
孩子帶錢時用四捨五入，說 23 元帶 2 個：不要說錯，請他用 2 個硬幣「付」23 元的紙條，問：「店員收到 20 元，你還欠多少？」孩子裝杯子時說 47 個能裝 5 杯：請他真的裝，裝到第 5 杯時問：「這一杯滿了嗎？」
- 回饋語範例
你先想錢要夠，所以往上多帶一個；裝杯子時你想到要裝滿，所以往下算。你會看情況換方向。
抓一把，估一估
約 10 分鐘- 目的
先估一堆小物大約有幾個十，再十個一杯地數出準確的數，比較估的和數的差多少，養成先估再檢查的習慣。
- 材料
小物盒裡的小物，大小差不多的豆子或鈕扣更好；四、五個杯子；一張紙和一枝筆，記下每次估的和數的。
- 時間
- 10 分鐘
- 步驟
- 請孩子用一隻手抓一把小物，倒在桌上散開。
- 問：「不要數，你覺得大約有幾個？比 10 多還是比 10 少？比 20 多還是比 20 少？」請他說一個整十，家長寫在紙上。
- 請孩子十個一杯地裝，裝滿一杯說一次「10、20、30」，最後數散的，說出準確的數。
- 問：「準確的數靠近哪一個整十？和你估的一樣嗎？差多少？」
- 換家長抓一把，請孩子先猜會比剛才多還是少，再做一次。
- 做三、四次以後，問孩子：「你現在估的，有沒有比第一次接近？你是怎麼估的？」
- 家長引導語
你覺得大約有幾個十？為什麼這樣猜？數出來以後，最靠近哪一個整十？你估的和它差多遠？
- 卡關時
孩子不敢估，說「要數才知道」：請他先回答「比 10 多還是少」這種只有兩個選項的問題，再縮小到「比 20 多還是少」。孩子每次都估同一個數：拿上一次裝好的杯子給他看，問：「上次一杯一杯裝滿是幾杯？這次看起來比上次多還是少？」
- 回饋語範例
你用上一次裝好的杯子來比，所以這次估得更接近。
7 / 9和孩子一起
練習與解析
- 請孩子說出 52 大約是幾十，並說出理由。
看解析
50，因為 52 離 50 只有 2 步，離 60 有 8 步。答「60」的孩子可能看到 5 就想到「五入」，把十位的 5 當成了要看的那一位；請他先說出 52 落在哪兩個整十之間，再看個位。答「50」卻說不出理由，請他在 50 到 60 的數線上走一次。
- 請孩子說出 75 和 74 各大約是幾十。
看解析
75 大約是 80，74 大約是 70。75 剛好在 70 和 80 正中間，依約定算大的那個；74 離 70 是 4 步，比較近。答「75 是 70」的孩子可能覺得兩邊一樣近，就選小的；這時問他：「我們約定剛好在中間的時候算哪一邊？」答「74 是 80」的孩子，請他數 74 到 70 和 74 到 80 各幾步。
- 一盒彩色筆 32 元，只能用十元硬幣付，要帶幾個才夠？
看解析
4 個。帶 3 個是 30 元，還差 2 元。答「3 個」的孩子用了四捨五入，請他用 3 個硬幣「付」一次，問還差多少。這題要的是「一定夠」，所以往上算一個整十。
- 有 58 顆草莓，每盒裝 10 顆，可以裝滿幾盒？
看解析
5 盒，剩下 8 顆裝不滿第 6 盒。答「6 盒」的孩子把 58 四捨五入成 60，請他想像裝到第 6 盒時：「這盒裝了幾顆？滿了嗎？」和第 3 題放在一起問，最能看出孩子有沒有依情境換方向。
- 在 30 到 40 的數線上，問孩子：「從 33 走到 30 要幾步？從 33 走到 40 要幾步？33 比較靠近哪一個？」
看解析
走到 30 是 3 步，走到 40 是 7 步，比較靠近 30。答「4 步」和「8 步」的孩子把起點 33 也數進去了，請他手指放在 33 不動，跨出去才開始數。這題把數線上數步數和本單元的「靠近誰」放在一起問。
- 學校一年級有 286 位小朋友，大約是幾百位？如果改成 250 位、245 位呢？
看解析
286 大約是 300，250 大約是 300，245 大約是 200。到整百看的是十位：286 的十位是 8，比較靠近 300；250 剛好在 200 和 300 正中間，依約定算 300；245 的十位是 4，還沒到中間的 250，所以比較靠近 200。245 答成 300 的孩子是先把 245 進成 250、再進成 300，請他回到「看一次」：245 離 200 是 45，離 300 是 55。
- 姊姊在讀一本 100 頁的書，已經讀到第 48 頁，她說：「我大約讀了一半。」請孩子判斷這句話合不合理。
看解析
合理。100 頁的一半是 50 頁，48 頁很靠近 50 頁。孩子說「不合理，因為 48 不是 50」，是把「大約」當成「要剛好」；可以問：「48 離 50 差幾頁？差這麼一點，可以說大約一半嗎？」也可以請孩子在 0 到 100 那條數線上找到 50，再看 48 會在它的旁邊。
8 / 9和孩子一起
隔天再問
隔天找一個空檔，不給提示地問下面三題，答錯也不必當場糾正，記下來，下次活動多練那一部分。
- 「43 比較靠近 40，還是比較靠近 50？」
看提示
40，因為 43 離 40 只有 3 步。孩子答 50，下次做「找最近的整十」時，多用 40 到 50 那條數線練。
- 「25 大約是幾十？為什麼？」
看提示
30。25 剛好在 20 和 30 中間，大家約定算大的那一個。孩子答 20 也說得出「兩邊一樣近」，表示遠近已經懂了，只是忘了約定。
- 「要買 31 元的東西，只能帶十元硬幣，要帶幾個？」
看提示
4 個，因為 3 個只有 30 元，不夠。孩子答 3 個，下次再做一次「帶夠錢、裝滿盒」的帶錢那一半。
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下一步
估算時常常要把兩個量放在一起想大約多少，例如兩樣東西合起來要帶幾個十元。下一個單元「加法是合併與增加」會回頭問一個更基本的問題：什麼情況下，要把兩個量合起來？