比多少
不數完，怎麼知道哪一邊比較多？
1 / 9
給家長的話
這一篇寫給你。你不需要自己很會數學：先讀「大人先懂」，再挑一個親子活動帶孩子做。你負責安排和提問，不需要講解；孩子負責動手、說出想法。陪孩子的時候，請避免說「我數學不好」，這句話容易讓孩子也開始怕數學。第一次使用，請先看「親子共學怎麼用」。
2 / 9
情境開場
點心時間，你給兩個孩子各一把葡萄乾。哥哥把他的葡萄乾一顆一顆排開，排成長長的一條，從桌子這頭排到那頭；妹妹的葡萄乾擠在一小堆。哥哥說：「我的比較多，你看我的那麼長！」妹妹一看，覺得好像真的是這樣，就哭了。
其實妹妹那堆有 8 顆，哥哥那條只有 6 顆。哥哥沒有騙人，他是真的相信排得比較長的那一邊比較多。
又有一次，你請孩子幫忙擺餐具，問他：「杯子和湯匙，哪一個比較少？」孩子指著比較多的那一堆說「這個」。他不是不會比，而是「多」和「少」這兩個字常常被說反。
這個單元要回答的核心問題是：不數完，怎麼知道哪一邊比較多？答案藏在孩子已經會的一件事裡：一個配一個。
3 / 9
開始前
這個單元的先修是數數。開始之前，先觀察孩子能不能做到下面幾件事：
- 能用「數一個、移一個」的方法，數對 10 以內的小物，數完能直接說出「一共有幾個」，不必從頭再數一次。
- 能把一個東西放到另一個東西上面或旁邊，例如把一顆鈕扣放進一個小格子裡。
- 聽得懂「一樣多」「比較多」「比較少」這幾句話，不一定說得對，但聽到時會去比。
前兩件做得到，就可以開始。第三件還不熟也沒關係，這正是這個單元要練的。如果孩子數數還常常漏數，先回到數數做幾次「搬家數數」，再來比多少。
4 / 9
大人先懂
在數數那個單元，孩子學會把東西和數詞「1、2、3……」一個配一個。比多少把同樣的動作換一個對象：不再拿東西去配數詞，而是拿一堆東西去配另一堆東西。一一對應從「物和數詞配對」延伸成「物和物配對」，這就是數數和比多少之間的銜接點。
先用手邊的東西體會一次。桌上有 7 個杯子和 5 支湯匙，請你不要數。拿起一支湯匙放進一個杯子，再拿一支放進下一個杯子，一直放到湯匙用完。結果有 2 個杯子是空的，沒有湯匙可以配。不用知道杯子有幾個、湯匙有幾支，你已經知道杯子比較多。
再看圖。把兩堆排成上下兩排，一個配一個連起來：
配對的規則只有一條：每一對只用一個上排、一個下排，不能有一個圓點連兩條線。配完以後只會出現三種結果：兩邊都不剩，就是一樣多；上排剩下，上排比較多；下排剩下，下排比較多。這個方法完全不需要數字，所以還不太會數的孩子也能用，數量大到數不清時也能用。
剩下來沒配到的那幾個，還回答了另一個問題：多幾個。上排比下排多的，正好就是沒配到的那 2 個，所以「多幾個」就是沒配到的數量。寫成算式是
讀作「7 減 5」，在這裡的意思是：7 個和 5 個配對以後，剩下 2 個沒配到。孩子以後學「減法的意義」時，「比多少」會是減法的一種意思，和「拿走」並列，現在先用配對把它看清楚就好。
同一件事也可以反過來說：杯子比湯匙多 2 個，就是湯匙比杯子少 2 個。「多」和「少」說的是同一個空杯子，只是站在不同的那一邊看。孩子常常把這兩個字說反，原因之一就是同一個情況有兩種說法。
接著是這個單元第二件重要的事。心理學家皮亞傑（Jean Piaget）做過一個有名的實驗：把兩排一樣多的硬幣上下對齊排好，孩子都同意一樣多；接著把其中一排拉開，排得比較長，再問孩子，很多五、六歲的孩子會說拉長的那一排比較多。皮亞傑把「東西沒有加、沒有拿走，數量就不變」這件事叫做數量守恆（conservation of number）。還沒有守恆概念的孩子，是用長度去判斷多少。
為什麼拉開不會變多？因為配對關係沒有被破壞。拉開以前，每一個上排的圓點都有一個下排的圓點配它；拉開以後，那條線只是變長、變斜，配的還是同一個。只要能重新配對、兩邊都不剩，就是一樣多。這也是為什麼「拉長了，變多了嗎？」這個活動要先讓孩子預測，再讓他自己配對驗證：說服孩子的不是大人的解釋，而是他親手連起來的那些線。
自學者延伸：配對比較不需要數字，所以有些數學家反過來，用配對來定義數。十九世紀末的 Frege 主張：兩個集合（set）能一個配一個、兩邊都不剩，就叫做「一樣多」；所有和「一隻手的手指」一樣多的集合，共同擁有的那個性質就是 5。換句話說，先有配對，才有數。配對還能證明一些不必數就知道的事，例如鴿籠原理（pigeonhole principle）：10 隻鴿子要住進 9 個籠子，不論怎麼分，一定有一個籠子至少住了 2 隻。理由和杯子配湯匙一樣：每個籠子先配一隻鴿子，9 個籠子配完，還剩 1 隻鴿子沒配到，牠只能擠進某個已經有鴿子的籠子。孩子在餐桌上把湯匙放進杯子，用的就是這個想法。
5 / 9
常見迷思
下面兩則迷思，都會在親子活動中直接出現。認得出來，就知道該用哪一句引導語。
迷思一：排得比較長，就是比較多。這是情境開場裡哥哥的想法。孩子用長度或占的地方大小判斷多少，沒有想到東西之間的空隙也被算了進去。
上排 5 顆鈕扣拉開排，下排 7 顆鈕扣擠在一起。孩子看了一眼說：「上面比較多，因為上面比較長。」
孩子把上排的鈕扣一顆一顆移到下排的鈕扣上方，配完以後說：「下面有 2 顆沒有配到，所以下面比較多。」
診斷題：把 6 顆積木和 6 顆積木上下對齊排好，請孩子確認一樣多。接著當著孩子的面，把上排拉開，問：「現在哪一排比較多，還是一樣多？」
看解析
回答「一樣多，因為沒有拿走也沒有加」的孩子，已經有數量守恆。回答「上面比較多」的孩子，還在用長度判斷。不必糾正，請他把上排的積木一顆一顆推回去對準下排，再問：「剛剛真的比較多嗎？」也可以請他自己決定用什麼方法檢查，數或配對都可以。
迷思二：「多」和「少」說反，或把「多幾個」答成「有幾個」。孩子比得出哪邊多，卻在用語上卡住：問「哪邊比較少」時指著多的那邊，或是問「多幾個」時回答多的那一堆一共有幾個。
上排 7 個、下排 5 個。問「下排比上排少幾個？」孩子說「下排比較多」；或是問「上排比下排多幾個？」孩子數了上排，回答「7 個」。
孩子先配對，指著沒配到的 2 個說：「上排多 2 個。」再問「下排呢？」他說：「下排少 2 個，因為下排沒有東西可以配這 2 個。」
診斷題：擺出 6 個杯子和 4 支湯匙，先問「哪一種比較多？多幾個？」，再問「哪一種比較少？少幾個？」
看解析
完全答對的孩子會說「杯子多 2 個」和「湯匙少 2 個」，而且兩個答案都是 2。第一題答對、第二題指向杯子的孩子，是把「少」聽成了「多」，可以問：「哪一種用完了，還有東西沒配到？」回答「6」或「4」的孩子，是把「多幾個」當成「有幾個」，請他用手蓋住已經配好的那幾對，問：「沒蓋到的有幾個？」
6 / 9和孩子一起
親子活動
三個活動沿用數數單元的那盒小物（約 30 個鈕扣、積木或豆子），另外準備家裡的杯子和湯匙。「兩堆配對」要先印好兩排圓點卡，也可以用數字卡 0–20寫下答案，數字卡三篇共用。
杯子配湯匙
約 5–10 分鐘- 目的
用「一個配一個」比出哪一邊比較多，不必先數。
- 材料
家裡的杯子 5 到 8 個、湯匙 3 到 8 支，數量可以和孩子事先說好「不要數」。沒有那麼多杯子時，可以用紙杯或碗代替。
- 時間
- 5–10 分鐘
- 步驟
- 把杯子排成一排，湯匙另外放成一堆，數量先用 6 個杯子、4 支湯匙。
- 問孩子：「杯子和湯匙，哪一種比較多？先不要數，猜猜看。」
- 請孩子把湯匙一支一支放進杯子裡，一個杯子只放一支。
- 放完以後問：「有沒有杯子沒有湯匙？有幾個？」
- 再問反過來的說法：「那湯匙比杯子少幾支？」
- 換成湯匙比較多（例如 5 個杯子、7 支湯匙），再做一次；最後做一次一樣多的。
- 家長引導語
你猜哪一種比較多？為什麼這樣猜？放完了，哪一種有剩下？剩下幾個，就是多幾個嗎？
- 卡關時
孩子在一個杯子裡放了兩支湯匙：問他「每個杯子都分到一支了嗎？」，請他把多的那支拿出來放進空杯子。孩子想先數：可以讓他數，數完再請他放放看，比較兩種方法的答案是不是一樣。
- 回饋語範例
你一個杯子只放一支湯匙，所以一看空杯子就知道哪邊比較多。
拉長了，變多了嗎？
約 10 分鐘- 目的
發現把一排東西拉開，數量不會變，並用配對自己檢查。
- 材料
小物盒裡的 12 到 16 個小物，分成兩種顏色或兩種東西更好分辨，例如鈕扣和積木各 6 到 8 個。
- 時間
- 10 分鐘
- 步驟
- 把 6 個鈕扣排成一排，請孩子在下面排 6 個積木，一個積木對準一個鈕扣，問：「一樣多嗎？」
- 孩子同意一樣多以後，當著孩子的面把上排鈕扣拉開，排得比下排長很多。
- 問：「現在哪一排比較多，還是一樣多？」先請孩子預測，不要馬上檢查。
- 請孩子把鈕扣一個一個推回去，對準下排的積木，看看有沒有剩下。
- 換成把下排擠在一起、上排不動，再做一次預測和檢查。
- 孩子能說出「一樣多」以後，改用 7 個和 8 個，把 7 個那排拉得最長，再問一次。
- 家長引導語
拉開的時候，我有拿走或加進去嗎？你覺得哪一排比較多？要怎麼檢查才知道？
- 卡關時
孩子預測「拉長的比較多」：不要說他錯了，直接請他配對檢查，檢查完問「你剛剛猜的和配出來的一樣嗎？」孩子配對時漏掉中間的：請他每配好一對，就把那一對往自己的方向推一點，分開配過的和還沒配的。
- 回饋語範例
你沒有只看哪一排比較長，而是一個一個對過去檢查，這個方法不會被騙。
兩堆配對
約 10–15 分鐘- 目的
配對以後數出沒配到的數量，知道那就是「多幾個」，並用「多」和「少」兩種說法說出來。
- 材料
- 時間
- 10–15 分鐘
- 步驟
- 先用小物：上面放 5 個、下面放 3 個，散開不要排好。請孩子把下面的一個一個搬到上面的旁邊配成一對。
- 問：「哪一堆有剩下？剩下幾個？」請孩子從數字卡找出這個數，放在剩下的那幾個旁邊。
- 換成圓點卡。從第一張（上排 3 個、下排 2 個）開始，請孩子用鉛筆把上排和下排的圓點一個配一個連起來。
- 連完問：「上排有幾個沒有線？」再問：「所以上排比下排多幾個？下排比上排少幾個？」
- 依序做下一張卡，最後一張是上下各 6 個，做完問：「這張剩下幾個？」
- 孩子熟練以後，換孩子出題：他擺兩堆小物，家長配對，家長可以故意在一個小物上配兩個讓孩子檢查。
- 家長引導語
哪一排有圓點沒有線？那幾個就是多出來的嗎？如果用「少」來說，要怎麼說？
- 卡關時
孩子回答「多 7 個」這種多的那一排的總數：用手蓋住已經連好線的那幾對，問「沒有被我蓋住的有幾個？」孩子連線時斜著連到隔壁、重複用了同一個圓點：請他每連好一個圓點，就在圓點旁邊打一個勾。
- 回饋語範例
你先把每一對連好，再只數沒有線的那幾個，所以很快就找到多幾個。
7 / 9和孩子一起
練習與解析
- 擺 9 顆鈕扣和 6 顆積木，請孩子不數，只用配對說出哪一種比較多、多幾個。
看解析
鈕扣比較多，多 3 顆。孩子說「鈕扣多 9 顆」，是把「多幾個」答成「有幾個」，請他蓋住配好的 6 對再看。孩子說不出多幾個但知道鈕扣比較多，表示配對已經會了，只是還沒把「剩下的」和「多幾個」連起來，可以問：「剩下的鈕扣有幾顆？」
- 上排 8 個積木排得很擠，下排 7 個積木拉得很開，問：「哪一排比較多？」
看解析
上排比較多，多 1 個。這題故意讓少的那排看起來比較長。孩子答「下排」，是用長度判斷，請他把下排推回去配對再回答。只差 1 個，配對時很容易漏看，可以請孩子每配一對就推近一點。
- 請孩子看下面這張圖，說出哪一排比較多、多幾個，再用「少」說一次。
看解析
下排比較多，多 2 個；也可以說上排比下排少 2 個。前面兩張圖都是上排比較多，這題換成下排。孩子仍然回答「上排比較多」，可能是看習慣了，請他指出沒有線的圓點在哪一排。
- 家裡有 5 個人要吃飯，桌上擺了 7 張椅子，問：「椅子夠不夠？多了還是少了？多幾張或少幾張？」
看解析
夠，椅子多了 2 張。這題沒有實物可以搬，孩子要在腦中配對。答不出來時，請他真的請家人一人坐一張椅子，再看空椅子有幾張。這題也預告了之後的減法：，可是現在不必寫算式。
- 把 10 顆豆子分成兩堆，一堆 6 顆、一堆 4 顆，請孩子先數兩堆各有幾顆，再問：「多的那堆多幾顆？」
看解析
多 2 顆。這題把數數和比多少放在一起，練的是數完以後也能用配對找差距。孩子數完說「6 比 4 多」卻說不出多幾顆，可以請他配對：6 和 4 配完剩下的就是答案。孩子想用「數到 4，再數到 6，中間有幾個」也算對，那正是下一個單元數線的想法。
- 拿兩條一樣長的繩子，一條上面夾 5 個夾子、間隔很大，另一條上面夾 6 個夾子、擠在一起，問：「哪一條的夾子比較多？」
看解析
擠在一起的那條比較多，多 1 個。這題和第 2 題一樣考數量守恆，但改成繩子一樣長，孩子要排除「占的地方比較大」的干擾。答「間隔大的那條」的孩子，請他把夾子一個一個拿下來配對。
8 / 9和孩子一起
隔天再問
隔天找一個空檔，不給提示地問下面三題，答錯也不必當場糾正，記下來，下次活動多練那一部分。
- 「昨天我們把湯匙放進杯子，怎麼知道哪一種比較多？」
看提示
一個杯子放一支湯匙，有剩下的那一種比較多。孩子說「數一數」也可以，接著問：「不數的話，有沒有別的方法？」
- 「把一排積木拉長，積木會變多嗎？為什麼？」
看提示
不會，因為沒有拿走也沒有加。孩子說「會」，下次再做一次「拉長了，變多了嗎？」讓他自己配對檢查。
- 「上面 7 個、下面 4 個，上面比下面多幾個？」
看提示
3 個。孩子答不出來時，請他用小物擺出來配對，再數沒配到的。
9 / 9
下一步
比多少的「多幾個」是沒配到的那幾個，下一個單元「數線」把一排積木攤平成一條路，「多幾個」會變成路上兩個點之間隔了幾步。